115年 - 115-1 國立蘭陽女子高級中學_教師甄選試題︰數學科#138666

1. a、b、c 為實數， 0≤x≤ 2π  ，已知 f (x)= a  sin x+b cos x  +c 的最大值為 3，最小值為－1，且最大值發生在 時。求 (a+bi ) ＝_______

2. 投擲一個均勻的骰子，若擲出 點或 點則不能再投擲骰子，若擲出其他點數則可繼續投擲骰 子，在最多投擲n次的限制下，擲出1點的機率為p_n ，求之值＝_______

3. 將 1，2，3，…，78，依照下述規律分成 n 組：

第 1 組：1

第 2 組：2，3

第 3 組：4，5，6

第 4 組：7，8，9，10

 …

第 n 組：…，77，78

若從這 n 組中以均等的機率選一組後，再從中以均等的機率選出一個數字，則選出的數字小於 20 的 機率為_________(化為最簡分數)

4. 求二拋物線y²=4x與x2=2y-3的公切線方程式。

5. 數列<a_n> 的一般項為 ，其中p_n,q_n 均為自然數，若a_n≤p_n≤3 ，請由小到大寫出a_n 的所有可能值。

6. f(x)=sinx(1+cosx),0<x<2π的極大值為 M，極小值為m ，求數對 (M,m)。

7. 求 3 tan 10° + 4√3 sin 10° =_________

8. ，若aAB=BA ，就n 為正奇數及正偶數兩種情況，分別求 (A− B)ⁿ 之值。(Hint:可先觀察A ²、A ² )

9. 空間中交於一點，求L₁,L₂ 之交角平分線。

10. 若 x 為實數，解方程式 ，則 x =_________

11. 如圖，∠BAC = ∠PCR = ∠PBQ = 90°， = 3，= 4，∆PCR、∆PBQ皆為等腰三角 形，若 = 5: 3 且 tan∠RPQ = ，則 =_________

12. 如圖，過圓 O 外一點 A 作兩切線且切點為 B、C，另從??上找一點 D 作圓切線且切點 為 F 並交??於 E，若圓半徑為 5，?? = 4，?? = 3，求∆ADE面積為 42

13. ?(?) = 1 1−? ，求?⏟( ? (⋯ ? (2026 ) )) =

14. 設 1 2 < ? < 1，求???8(√? + √2? − 1 + √? − √2? − 1) =

15. 求(√9 3 − √3 3 ) 5 +8(√9 3 − √3 3 ) 3 − 6(√9 3 − √3 3 ) 2 − 9(√9 3 − √3 3 ) 1 + 8 =

16. 平面過 A(1，0，0)與 B(0，2，0)，且與 xy 平面夾成 60 角，求平面方程式為__

17. 已知 a、b 皆為正實數，且滿足 b a a b = 與 a b =106 ，則 106 log ( ) ab = _______________(化為最簡分數)

18. 如圖所示，等腰直角 ABC 中， A 90  = ，D 為 BC 的中點， 四邊形 DEFG 為正方形，且點 F 在 AC 邊上，若 BE CG = 3 ， BC = 4 ，則正方形 DEFG 的面積為__________

19. 設 R 代表坐標平面上由不等式 2 1 4 0 − −   y x 所定義的區域，若函數 f x y x y ( , ) 3 = − 在區域 R 上最 大值為 M，最小值為 m，則數對(M，m)＝__________(化為最簡根式)

20. 已知 O 為 ABC 之外心，若 5 3 8 0 AO BC BO CA CO AB    + + =  ，求 cos A 的最小值＝_______