115年 - 115-1 新竹縣立湖口高中_正式教師甄選試題：數學科#138653

科目：教甄◆數學 | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：19

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (0)

申論題 (19)

1. a a a b b c c d八個字母全取排成一列，則b的旁邊不能排c的排法有_______種。
2. 空間座標系中，在平面 $E: x+y+z=6$ 上鋪設三個頂點為 $A(1,1,4)$、$B(2,1,3)$、$C(3,2,1)$
的三角形磁磚(磁磚厚度不計)，今一雷射光線自點 $P(2a,3a+1,a-1)$ 射出，沿著向量
$(2,1,3)$ 的方向直線前進，若欲使雷射投射的光點落在磁磚鋪設區域(含邊界)，則所有可
能的動點 $P$ 所成圖形的長度或區域面積為______。(若圖形為線段則求其長度，若為封閉
區域則求其面積)
3. 已知實數 x1, x2, y1, y2 滿足 x12+y12=1$，$x_2^2+y_2^2=1$，
$x_1x_2+y_1y_2=\frac{1}{2}$，試求 $|x_1+y_1-1|+|x_2+y_2-1|$ 的最大值為______。
4. 設 $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$，則函數 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+6\sin
x-6\sqrt{3}\cos x$ 的最大值為______。
5. $\triangle ABC$ 中，已知 $A(6,0)$，若 $\angle B$、$\angle C$ 的內角平分線方程式分別為
$2x-3y+1=0$、$x-2=0$，則直線 $BC$ 的方程式為______。
6. 將直線 $L$ 對直線 $y=2x$ 鏡射，然後再繞原點旋轉 $45^\circ$，得到直線
$5\sqrt{2}x-5\sqrt{2}y+1=0$，則原直線 $L$ 的方程式為______。
7. 在 $\triangle ABC$ 三邊上的點 $D, E, F$ 滿足 $\overline{AB}=3\overline{AF}$，
$\overline{BC}=\frac{5}{3}\overline{DC}$，$\overline{CA}=2\overline{CE}$。若 $P$ 是四邊
形 $AFDE$ 內一點(不含邊界)使得 $\vec{DP}=\frac{-1}{3}\vec{DC}+k\vec{DE}$，試求 $k$
值的範圍為______。
8. 設 $f(x)=x^9+x^8+x^7+\dots+x-10$，求 $\lim_{x\to 1}\frac{\int_1^x f(t)dt}{x-1}=$______。
9. 設 $(x_1,y_1)=(0,-1)$，$(x_2,y_2)=(1,0)$，$(x_3,y_3)=(0,1)$，若二實數 $a$ 與 $b$ 使
$D=(y_1-a-bx_1)^2+(y_2-a-bx_2)^2+(y_3-a-bx_3)^2$ 之值為最小，此最小值為______。
10. 設 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 為平面上三個非零向量，已知 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 不
平行，且 $\vec{c}=2\vec{a}+k\vec{b}, k>0$。若 $\vec{c}$ 與 $\vec{b}$ 所張成的平行四邊形
面積為 14，$\vec{c}$ 與 $\vec{a}$ 所張成的平行四邊形面積為 21，求 $k=$______。
11. 圓內接四邊形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}=5$，$\overline{BC}=2$，
$\overline{CD}+\overline{DA}=9$。設 $\overline{CD}=x$，若 $x$ 的可能值的最大範圍為區
間 $(a,b)$，求該區間的長度 $b-a$ 為何？______。
12. 求 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}$ 之值為______。
13. 已知實數 $x, y, z$ 滿足 $x+y+z=0$ 及 $x^3+y^3+z^3=18$，求 $xyz=$______。
14. 已知非零複數 $z$ 滿足方程式 [原卷字元遺漏，推測為 z 的相關方程式] $=4iz$，在複數平
面上，將所有可能的 $z$ 作為頂點所形成的凸多邊形面積為______平方單位。
15. 甲參加某個限定商品的抽獎，已知抽獎方式如下：第一次抽要付100元，每次抽中獎品的機
率為 $\frac{1}{3}$，若抽中則可拿到限定商品，若沒抽中可以選擇就此放棄抽獎機會，或是
比上次多付100元的金額再抽一次。例如：第一次花費100元沒抽中，可再花費200元抽第二
次，若第二次沒中則可再花費300元抽第三次，以此類推。假設甲身上有無限的資金且絕不
放棄，會持續抽獎直到抽中限定商品為止，則甲所花費金額的期望值為______元。
二、計算證明題
1. 甲、乙兩人輪流投擲一枚均勻的硬幣，每局誰先擲出正面誰獲勝，並重新開始玩下一局，他
們連玩了數局，並規定前一局的輸家下一局先擲，若甲第1局先擲，試回答下列問題：
(1) 第1局是甲獲勝的機率為何？ (3分)
(2) 設 $P_n$ 為第 $n$ 局是甲獲勝的機率，試求 $P_n$ 與 $P_{n-1}$ 的關係式。 (3分)
(3) 第 $n$ 局是甲獲勝的機率為何？ (4分)
2. 設 $\alpha, \beta, \gamma$ 為互異的複數，在複數平面上，$A(\alpha), B(\beta),C(\gamma)$，且
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0$，試證：
$\triangle ABC$ 為正三角形。 (15分)