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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 96年 - 96 高等考試_三級_電力工程、電子工程：工程數學#36464
96年 - 96 高等考試_三級_電力工程、電子工程：工程數學#36464
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
96年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
7
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 下列何者為曲線 y＝c/x
2
的正交曲線，其中 c 為常數？ (A) x
2
+ y
2
= k (B) x
2
− 2y
2
= k (C) x
2
− 2y
2
+ x = k (D) x
2
− 2y
2
− x = k
2 給定一個微分方程式 y′ + sin(x) y = 1− x，初始值為 y(π ) = −3，冪級數解（power series solution）為
則 (x − π )
2
的係數 c
2
之值為何？ (A)2 + π (B) 2 (C)1− π (D)-2
3 拋物面 S：y = x
2
, 0≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤3 之面積為：
4 下列何者是點（1,-4,-3）到平面2x − 3y + 6z = −1的距離？ (A)1/7 (B)2/7 (C)3/7 (D)4/7
5 令矩陣
，若 A 不可逆，則 a 必為何？ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
6 設
；則下列敘述何者正確？ (A)(A + B)的特徵值（eigenvalues）等於 A 的特徵值加上 B 的特徵值 (B) AB 的特徵值等於 BA 的特徵值 (C) AB 的特徵值等於 A 的特徵值乘以 B 的特徵值 (D) A 與 B 具有相同的特徵值及相對的特徵向量（eigenvectors）
7 若 g(t) 是定義在 [0,∞) 的週期函 數 且 g(t + T) = g(t) ，則可以證明 g(t) 的 拉 式轉換（ Laplace transform ） 為
給定
且 f (t + 2) = f (t) ，試求 f (t)的拉式轉換。
8 下列那些為z
2
+(2i-3)z+5-i=0之解？① z = 2 − 3i ② z = 1+ i ③ z = 2 + 3i ④ z = 1− i (A)①② (B)①②③ (C)①②④ (D)①②③④
9 令
則下列何者正確？ (A)f(0)=2/9 (B)f(π)=1/9 (C)f(2π)=1/9 (D)f(3)=0
10 f (t)是週期為 8 的函數，在0 ≤ t < 8 之間定義 f (t) = 3t / 4。將 f (t)的複數傅利葉級數（complex Fourier series）表示成
其中i = √−1。求
之值為何？ (A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 6
11 現已知
，其中 C 表示單位圓（unit circle） │z│= 1，逆時鐘方向（counterclockwise）。請利用此結果 來計算
？
12 欲將週期為
函數
展開成
請問a
0
為何？ (A) 0.5 (B) 1 (C) 1.5 (D) 2
13 下列那一函數滿足三維 Laplace’s 方程式
？
14 二個獨立（independent）的隨機變數 X 與 Y，X 的期望值（mean）為− 2 ，變異值（variance）為 4；Y 的期望值為 10 ，變異值為 1。定義W = X −Y ，將 W 的變異值表示成 σ
2
。則下列何者正確？ (A) σ
2
< 3(B) σ
2
=3 (C) σ
2
=5 (D) σ
2
>5
15 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為
則 e
X
的期望值（mean）為何？ (A) 0 (B) 1/100 (C) 1/10 (D) 10/9
16 有一週期函數 f (x) = e
x
，其中− π < x < π ，且 f (x + 2π ) = f (x)，求其
17 下列何者為(cos y + y cos x)dx + (sin x − xsin y)dy = 0之解？ (A) y cos x + xsin y = c (B) xcos y + ysin x = c (C) xcos x + y sin y = c (D) y cos y + xsin x = c
18 令向量
則u ⋅(v × w)等於？ (A) 4 (B) 6 (C) 10 (D)-20
19 求微分方程式 y′′ + 5y ′ + 6y = 3e
−2x
+e
3x
的特解（particular solution）？
20 設某一圓可表為F(θ ) = 3cos(θ )i + 3sin(θ )j + k，則此圓之曲率（curvature）為何？ (A) 0 (B)1/3 (C) 1 (D) 3
申論題 (7)
⑴請把(A+B)
3
乘開後的式子寫出。（5 分）
⑵若是 AB=BA，該⑴的答案式子會簡化為何？（5 分）
【已刪除】二、求出下列微分方程式的解：
。（20 分）
：⑴ E[XY]。
⑵ E[W]。
【已刪除】⑶ W 的均方差（variance）：
。
⑷ E[WU]。
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則 (x − π ) 2的係數 c2 之值為何？
(A)2 + π (B) 2 (C)1− π (D)-2
，若 A 不可逆，則 a 必為何？
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
；則下列敘述何者正確？ (A)(A + B)的特徵值（eigenvalues）等於 A 的特徵值加上 B 的特徵值 (B) AB 的特徵值等於 BA 的特徵值 (C) AB 的特徵值等於 A 的特徵值乘以 B 的特徵值 (D) A 與 B 具有相同的特徵值及相對的特徵向量（eigenvectors）
給定 
且 f (t + 2) = f (t) ，試求 f (t)的拉式轉換。
則下列何者正確？
(A)f(0)=2/9 (B)f(π)=1/9 (C)f(2π)=1/9 (D)f(3)=0
其中i = √−1。求
之值為何？
(A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 6
，其中 C 表示單位圓（unit circle） │z│= 1，逆時鐘方向（counterclockwise）。請利用此結果
來計算 
？ 
函數
展開成 
請問a0為何？
(A) 0.5 (B) 1 (C) 1.5 (D) 2
？ 
則 eX 的期望值（mean）為何？
(A) 0 (B) 1/100 (C) 1/10 (D) 10/9
則u ⋅(v × w)等於？
(A) 4 (B) 6 (C) 10 (D)-20
。（20 分）
。