(d) \((5\%)\) Find the maximum likelihood estimator (MLE) \(\theta_{n}\) of \(\theta\)

(e) \((5\%)\) Find an unbiased estimator of \(\theta\)

(f) \((5\%)\) Find the MLE of the median of the distribution.

3. (30%) Let X₁, X₂, ..., Xₙ be a random sample from Bernoulli(p). Define R(p, δ(X)) = Eₚ[(δ(X) - p)²] (the Mean-Square Error). (a) \((3\%)\) Find a minimal sufficient statistic of \(p\)

(b) \((3\%)\) Find the uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) of \(p\)

(c) Assume that the prior distribution on \( p \) is beta \((\alpha, \beta)\). (c-i) \((3\%)\) Find the posterior distribution of \(p\)

(c-ii) \((3\%)\) Calculate the posterior mean and variance.

(c-iii) \((3\%)\) Denote \(\hat{p}B\) to be the posterior mean found in (c-ii). Find \(\alpha, \beta\) such that \(R(p, \hat{p}B)\) is constant.

(d) Consider three estimators $$\hat{p}_U = \text{UMVUE found in (b)},$$ $\hat{p}_B$ = the posterior mean with constant risk found in (c-iii), and $$\hat{p}T = \begin{cases} \hat{p}U \text{ with probability } \frac{n}{n+1}, \\ 1/2 \text{ with probability } \frac{1}{n+1}. \end{cases}$$ (d-i) \((3\%)\) Find \(\sup{p\in (0,1)}R(p,\hat{p}U)\) \(\sup{p\in (0,1)}R(p,\hat{p}B)\) , and \(\sup{p\in (0,1)}R(p,\hat{p}T)\) for a fixed \(n\)

(d-ii) \((3\%)\) Find the limiting distribution of \(\sqrt{n} (\hat{p}U - p)\) and \(\sqrt{n} (\hat{p}B - p)\), respectively.

(d-iii) \((3\%)\) Show that \(\hat{p}U\) and \(\hat{p}B\) are the consistent estimators of \(p\).

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147002

115年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146998

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147007

112年 - 112 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147018

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311