(e) (10%) Find the maximum likelihood estimate \(\hat{M}\) of the median of \(F(x; \theta_1, \theta_2)\) and the corresponding distribution of \(\hat{M}\).

2. (50 %) About hypothesis test: (a) Suppose the parameter space of a family of pdf or pmfs $\{f(x|\theta)|\theta \in \Theta\}$ has been partitioned into two subspaces $\Theta_0, \Theta_0^c$, such that $\Theta = \Theta_0 \cup \Theta_0^c$. Consider the hypotheses of $H_0: \theta \in \Theta_0$ v.s. $H_1: \theta \in \Theta_0^c$. Describe the following definitions with proper notations: i. Power function;

ii. Unbiased test;

iii.Monotone likelihood ratio (MLR);

iv. Likelihood ratio test (LRT).

(b) Complete the following tests. i. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be iid Beta($\theta, 1$). Find a Most Powerful test of $$H_0: \theta = 1 \text{ v.s. } H_1: \theta = 2.$$

ii. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be iid Poisson($\lambda$). Find a Uniformly Most Powerful test of $$H_0: \lambda \le \lambda_0 \text{ v.s. } H_1: \lambda > \lambda_0.$$ iii. Let $X_{ij} \sim f(x_{ij}|\theta_i) = \frac{1}{\theta_i} e^{\frac{x_{ij}}{\theta_i}}, i = 1, 2, j = 1, 2, \ldots, n$ be 2 independent random samples from two exponential populations. Find a likelihood ratio test of $$H_0: \theta_1 = \theta_2 \text{ v.s. } H_1: \theta_1 \neq \theta_2$$

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311

109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146988