以下計算 一年期 99% 期望虧損（Expected Shortfall, ES），分布仍為均勻分布。

✔ 題目已知

收益 (X) 均勻分布：

[
X \sim U(a,b) = U(-2{,}000{,}000,; +8{,}000{,}000)
]

前一小題已算出：

• 99% VaR = 1,900,000（損失）

• 即 1% 分位點：

[
x_{0.01} = -1{,}900{,}000
]

⭐ (ii) 計算一年期 99% Expected Shortfall（ES）

✔ ES 定義

99% ES = 在最差的 1% 情況下 平均損失多少

[
ES_{99%} = -\mathbb{E}[X \mid X \le x_{0.01}]
]

✔ Step 1：找最差 1% 的區間

最差 1% 区间為：

[
[-2{,}000{,}000,; -1{,}900{,}000]
]

區間寬度：

[
100{,}000
]

✔ Step 2：計算該區間的期望值（均勻分布 → 平均值 = 上下限平均）

[
\mathbb{E}[X \mid X \le x_{0.01}]
= \frac{-2{,}000{,}000 + (-1{,}900{,}000)}{2}
]

[
= \frac{-3{,}900{,}000}{2}
]

[
= -1{,}950{,}000
]

✔ Step 3：ES 定義（損失為正值）

[
ES_{99%} = -(-1{,}950{,}000)
]

[
= 1{,}950{,}000
]

⭐ 最終答案：

[
\boxed{ES_{99%} = 1{,}950{,}000}
]

也就是說：

在最糟的 1% 情況下，平均損失為 195 萬美元。

如果你需要，我也可以幫你比較 VaR vs ES、畫出分布圖、或統整為考試用簡表！