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首頁 > 研究所、轉學考(插大)◆線性代數 > 109年 - 109東吳大學_碩士班招生考試_數學系：線性代數#100494 > 申論題

3. Find a basis for the solution space of the following linear system, and find the dimension of the solution space.

相關申論題

1. Apply the Gram-Schmidt process to transform the vectors (1,1,1), (0,1,1),(1,0, 1) into orthonormal vectors with respect to the standard inner product.

2. . Find an invertible matrix S that diagonalizes A, and compute AS. Apply the result, compute , where is defined by

4. Let T : be defined by T(A) = . Provethat T is a linear map, and find the matrix representation of T withrespect to the basiswhere is the transpose of A.

5. State the Cauchy-Schwarz inequality in . Applying the inequal- ity to show 9 ≤ (a+b+c) for all positive real numbers a, b, c, and also x + 2y + 3z ≤ √14 on the sphere x2 + y2 + z2 = 1.

Problem 6 :Let A and B be elements in (C). Suppose that AB - BA = c⋅(A - B) for some non-zero c ∈ C. Prove that there exists an invertible matrix P ∈ (C) such that AP and BP are upper-triangular matrices with the same diagonal entries.

Problem 5 :Let A, B ∈ (R). Prove that rank A + rank B ≤ n if and only if there exists an invertible matrix X ∈ (R) such that AXB = .

(2) Show that T is diagonalizable.

(1) Find the dimension of Ker T.

(2) Find the singular value decomposition of A. In other words, factorize A = , where U ∈ M₂(R) and V ∈ M₃(R) are orthogonal matrices and Σ ∈ (R) is of the form Σ = , λ₁ ≥ λ₂ ≥ 0

(1) Find an orthogonal matrix P ∈ M₃(R) such that AP is a diagonal matrix.

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