b. (5%) Prove that \( \mathrm{P}_{\theta}[\theta' \in C(X)] < 1 - \alpha \) for \( \theta' \neq \theta \).

3. (15%) Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be a random sample from the pdf $$f(x|\theta) = \theta x^{-2}, \ 0 < \theta \le x \le \infty.$$ a. (5%) Find a sufficient statistic of \(\theta\).

b. (5%) Find the maximum likelihood estimator (MLE) of \(\theta\).

c. (5%) Find the method of moments estimator of \(\theta\).

4. (5%) Consider the testing problem $H_0: \theta = \theta_0$ versus $H_1: \theta \neq \theta_0$ based on i.i.d. $X_1, X_2, \ldots, X_n$ from $U(0, \theta)$. Show that the uniformly most powerful (UMP) test with rejection region $X_{(n)} > \theta_0$ or $X_{(n)} \le \theta_0 \alpha^{1/n}$ is a likelihood ratio (LR) test with size $\alpha$.

115年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146998

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311

109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146988