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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 100年 - 100 身心障礙特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#36019
100年 - 100 身心障礙特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#36019
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
100年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
6
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 設
a
為常數，則下列何者為曲線
的正交曲線？ (A)y=cx
2
(B)y=x+c (C) y= ce
2x
(D) cey
−2x
2 解微分方程式 1+x
2
y
2
+y+xy'=0。 (A) tan
−1
=x+y=c (B) tan
−1
=x+xy=c (C) tan
−1
xy+x=c (D) sin
-1
xy+x=c
3
的原始微分方程式為： (A)y"-3y'+2y=e
5x
(B) y′′ −3y+2y=
(C) y"-3y'+2y=2e
5x
(D)y ′′ − 3y′ + 2y = 0
4 為圓柱體 ，x2+y2 ≤4,|z|≤1 之表面，利用散度定理（divergence theorem）判斷下列向量函數
中，何 者之面積分
值不為 0？ (A)
(B)
(C)
(D)
5力
由點P(1,0,0) 出發，沿著螺旋線( helix）
施力至點 Q (1,0,6π )為 止，總共做功（work）多少？ (A) 0 (B) 6π − 3 (C)18π + 2 (D)7π
6 下列關於正交矩陣（orthogonal matrices）
A
的特性，何者是錯誤的？ (A)A
T=
−1 (B)
A
的行列式值（determinant）為： |A| ±= 1 (C)
A
的特徵值（eigenvalues）全為實數（real numbers） (D)
A
的行向量（column vectors）都互為正交（orthogonal）
7 令 A ∈ R
3✕3
為對稱矩陣，若 λ1, λ2 , λ3 與 V
1
,V
2
.V
3
分別為 A 之相異特徵值與相應之單位特徵向量，並 令矩陣P=[V1V2V3] ，則下列敘述何者錯誤？ (A) V
1
,V
2
,V
3
互為正交 (B)λ
1
, λ
2
, λ
3
必為實數 (C) P
−1
= P
T
(D)行列式 |P| =1
8 令矩陣A=
，則 A 的秩（rank）等於多少？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
9 試求函數
的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？(A)
(B)
(C)
(D)
10 (f*g)(t)為函數 f 與 g 的迴旋積（convolution），則下列何者為錯？ (A)
(B)
(C)
(D)
11 已知函數 ， F(x)=x,0 < x < 20 ，以半幅展開 為傅立葉正弦級數
，則b
n
= ？ (A)
(B)
(C)
(D)
12 定義傅立葉轉換為
，求出函數
的傅立葉轉換。(A)
(B)
(C)
(D)
13 f (t) 是週期為 2π 的函數，在 -π≤t< π 之間定義為 。
已知 的傅立葉級數 （Fourier series）為
。定義週期為 2π 的函數g(t)在-π≤t<π 之間為：
。下列何者為g(t) 的傅立葉級數（Fourier series）？ (A)
(B)
(C)
(D)
14 利用 Frobenius 級數
的方法解微分方程式 x
2
y"+x
2
y'-2y=0，下列何者是這個問題的 indicial 方程式？ (A) r
2
− r = 0 (B) r
2
− r− 2=0 (C) r
2
+r− 2 =0 (D) r
2
+r =0
15 求
=？ (A)
(B)
(C)tan
-1
(In z)(D)
16 設z 為複數，下列敘述何者正確？ (A)
(B)
，其中
表示z 的共軛複數（ z complex conjugate） (C)對於複數平面上任何兩點 z
1
與 z
2
，公式
皆成立，其中Arg(z) 表示複數z 的 主幅角（principal argument） (D)函數
在 z = 0時為可析函數（analytic function）
17 設 C 為 |z−2 | = 5之封閉曲線，求逆時針方向積分
之值？ (A) 1 (B) 2πi (C) 0 (D)π
18 給定一個連續隨機變數 X，它的機率密度函數為
。則 X 的期望值（mean） 為何？ (A) 1/2 (B)1/ π (C) 1/2 π (D) 0
19 非均質（nonhomogeneous）一維熱傳方程式
，利用轉換
可將該方程 式均質化：
，則以下選項何者可為輔助函數 w(x)？其中
，vt 及v
xx
定義同ut 及u
xx
。(A)
(B)
(C)
(D)
20 假設 x 是指數分配（exponential distribution），其機率密度函數為
，若 E(x)u, P(x>u)=q ，則 q 的範圍為何？ (A) 1/2<q < (B) 1/3 <q< 1/2 (C) 1/4< q < 1/3 (D)1/5< q <1/4
申論題 (6)
【已刪除】一、求微分方程式
的解。（提示：令u = xy ） （15 分）
【已刪除】⑴求解
之行列式值。（4 分）
【已刪除】⑵矩陣 A∈ R
n×n
，B∈R
n× n
，求解
之行列式值。（6 分）
【已刪除】⑴求
為大於 0 之實數。（5 分）
【已刪除】⑵利用傅立葉積分定理求
?（ x ≥ 0）（10 分）
四、假設球體的半徑是一個連續隨機變數，半徑 r 之機率密度函數 f( r) = 6r(1 − r)，0< r <1 。試求球體體積 V 的機率密度函數 f (V)。（10 分）
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的正交曲線？ (A)y=cx2 (B)y=x+c (C) y= ce 2x (D) cey −2x
的原始微分方程式為： (A)y"-3y'+2y=e5x (B) y′′ −3y+2y=
(C) y"-3y'+2y=2e5x(D)y ′′ − 3y′ + 2y = 0
中，何 者之面積分 
值不為 0？ (A) 
(B) 
(C)
(D)
由點P(1,0,0) 出發，沿著螺旋線( helix）
施力至點 Q (1,0,6π )為 止，總共做功（work）多少？ (A) 0 (B) 6π − 3 (C)18π + 2 (D)7π
，則 A 的秩（rank）等於多少？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 
的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？(A)
(B) 
(C) 
(D)
(B) 
(C)
(D) 
，則bn = ？ (A)
(B)
(C) 
(D) 
，求出函數
的傅立葉轉換。(A)
(B)
(C)
(D)
已知 的傅立葉級數 （Fourier series）為 
。定義週期為 2π 的函數g(t)在-π≤t<π 之間為：
。下列何者為g(t) 的傅立葉級數（Fourier series）？ (A) 
(B) 
(C)
(D)
的方法解微分方程式 x2y"+x2y'-2y=0，下列何者是這個問題的 indicial 方程式？ (A) r2− r = 0 (B) r2− r− 2=0 (C) r2+r− 2 =0 (D) r2+r =0
=？ (A)
(B) 
(C)tan-1(In z)(D)
(B) 
，其中 
表示z 的共軛複數（ z complex conjugate） (C)對於複數平面上任何兩點 z1與 z2，公式
皆成立，其中Arg(z) 表示複數z 的 主幅角（principal argument） (D)函數
在 z = 0時為可析函數（analytic function）
之值？ (A) 1 (B) 2πi (C) 0 (D)π
。則 X 的期望值（mean） 為何？ (A) 1/2 (B)1/ π (C) 1/2 π (D) 0 
，利用轉換 
可將該方程 式均質化：
，則以下選項何者可為輔助函數 w(x)？其中 
，vt 及vxx 定義同ut 及uxx 。(A) 
(B) 
(C) 
(D)
，若 E(x)u, P(x>u)=q ，則 q 的範圍為何？ (A) 1/2<q < (B) 1/3 <q< 1/2 (C) 1/4< q < 1/3 (D)1/5< q <1/4
的解。（提示：令u = xy ） （15 分）
之行列式值。（4 分）
之行列式值。（6 分）
為大於 0 之實數。（5 分）
?（ x ≥ 0）（10 分）