所屬科目：迴歸分析
一、⑴考慮下列涉及 3 條可能不同截距但相同斜率之直線的簡單線性迴歸模式：
其中 為彼此獨立且期望值為0而變異數 皆為 的隨機誤差。請利用上述所有資料求出的最小平方估計量 （ least squares estimator ）及 的變異數 。（10 分）
⑴下表為給定 4 種不同迴歸模式來配適 13 組資料 ( yi , xi1 , xi 2 , xi 3 ) ， i=1,⋯,13，所得的 AIC（Akaike’s information criterion，赤池訊息 標準）值。
⑴計算判定係數（coefficient of determination） ，其中 是 觀察值 y1,y2 , ⋯ , 與配適值（fitted values） 的相關 係數（coefficient of correlation）。（8 分）
⑷假定因中美貿易戰的影響，若兩公司同在第 11 個地區競爭且其價 格各自調高 1，即x11 =1及z11 =1。請計算在此地區 A 公司平均銷售 額變化量 的預測值及其 95%預測信賴 區間，即 E(y11)的點估計及區間估計。（8 分）
⑴某統計學家欲調查某一地區的當年新生人口與當年經濟成長率的 關係是線性或是牽涉到更高的次方關係。此統計學家蒐集了下列在不同經濟成長率 ݔ)單位為%）的新生人口資料 ݕ)單位為萬人），i=1,…,7，
⑴計算調整判定係數（adjusted coefficient of determination）及 , 與 的相關係數（coefficient of correlation）。（5 分）
⑵在顯著水準 = 0.05，利用 F 檢定法檢定 （5 分）
⑷ 的最小平方估計量（least squares estimator），且給定的標 準誤為 2.13。在顯著水準 = 0.05，利用 t 檢定法檢定
（5 分）
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為彼此獨立且期望值為0而變異數
皆為 的隨機誤差。請利用上述所有資料求出
的最小平方估計量 （ least squares estimator ）
及 
的變異數
。（10 分）
其中隨機誤差 有下列之機率密度函數表達：
當Y值大於0時，則該國的經濟評估為正向發展；反之即為負向發
展。考慮另一變數 Q，當Y > 0，則 Q=1，反之當Y≤ 0，則 Q = 0，
即 Q 為該國經濟是否為正向發展的指標。試求出一函數 h 使得 h(μ) = β0 +β1 X，
其中 = E(Q)為 Q 的期望值。（10 分） 
, 為彼 此獨立，期望值為0，變異數皆為 的常態分配。請完成此表並利 用 AIC 及 BIC（Bayesian information criterion，貝氏訊息標準）來 選取最適合的模式。（log(a)為數字 a 的自然對數值，log(2)=0.69， log(3)=1.1，log(4)=1.39，log(9)=2.2，log(10)=2.3，log(13)=2.56）。 （10 分）
, 為彼此獨立，期望值為0，而變異數皆為σ2 的常態分配。下列的殘差圖（residual plot），請選出那些（個） 不適當並請解釋為何不適當: 
是代表第 ݅ 天收集的資料， 
為第 i 個資料之配適值（fitted value），而ei為第݅個資料之殘差 （residual）值。(5 分) 
，其中
是 觀察值 y1,y2 , ⋯ , 與配適值（fitted values） 
的相關 係數（coefficient of correlation）。（8 分） 
（8 分） 
的預測值及其 95%預測信賴 區間，即 E(y11)的點估計及區間估計。（8 分） 
為彼此獨立且期望值為0，變異數皆為σ2的隨機誤差。 但是真正的迴歸模式是
為使用模式 A 所得之
的最小平方估計量（least squares estimator） ，而 
為使用模式 B 所得之
及
的最小平方估計量，請得到這些估計量的期望值向量，即 
。（7 分） 
, 與 
的相關係數（coefficient of correlation）。（5 分） 
（5 分） 
的最小平方估計量（least squares estimator），且給定
的標 準誤為 2.13。在顯著水準 = 0.05，利用 t 檢定法檢定 
（5 分）