111年 - 111 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#112610

1我們準備對（1,-1,3）以及（2,0,-4）這兩個向量做外積（cross product）。如果將答案寫成 （1,-1,3)✕(2,0,-4)=(a,b,c)，那麼a✕b✕c=？ (A)30(B)80(C)100(D)150

2考慮一線性方程組Ax=b，A為m✕n矩陣，m>n。下列敘述何者錯誤？(A)該方程組可能無解(B)該方程組可能只有一解(C)該方程組不可能有無窮多解(D)矩陣A的列階梯形矩陣（rowechelonform）一定有「零」列（rowofallzeros）

4假設我們已知（1,2,3）、（1,0,-1）以及（3,1,α）這三個向量無法構成的基底（basis）。那麼， α= ？(A) (B) (C) -1 (D)

5考慮如下所示之矩陣：。下列敘述何者正確？(A)A為可逆（invertible）的矩陣(B)A為既約列梯形（reducedrowechelonform）的矩陣(C)A為單位矩陣（identitymatrix） (D) A 為對稱（symmetric）的矩陣

6如下所示之選項中，何者為矩陣的特徵向量（characteristicvector，亦稱eigenvector）？ （選項中的符號代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測） (A) (B) (C) (D)

7考慮一馬可夫過程（Markovprocess）： 其狀態向量x之初值 。請問為何？(A)(B) (C) (D)

8在下列四個選項所顯示的複變函數（complexfunction），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（notanalytic）。請指出那一個是不可解析的？(A)(B)z³(C)z (D)（z 的共軛複數）

9考慮如下所示之複變函數：。如果我們將該函數在 z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成 a + b • i 的形式，那麼 a + b = ？ (A) -2 (B)0 (C)3 (D) 2π

10在本題中我們考慮複變函數的線積分（lineintegral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成的形式，接著我們用代表y=x²這條曲線，而且其起點為(x,y)=(0,0)、 2 終點為 (x, y) = (1,1) 。請計算並且將結果寫成 a + b • i 的形式，此時 a • b 的數值與下列選項何者最為接近？ (A) -5 (B) -1 (C)1 (D)5

11令，其中路徑積分之路徑C為以±2,±2i為頂點之正方形的邊界，行經方向為 正。請問g(1)之值為何？(A)2πi (B)1 (C)0 (D) 4π i

12有一個雙變數函數f(x,y)=x²• sin(x•y)。請問f(x,y)在（1,π）的梯度（gradient）為何？(A)（1,π） (B)（π,1） (C)（- π, -1） (D)（1, -π）

13考慮微分方程式：,其中與分別代表y對變數t做一次與二次微 分。請問下列敘述何者正確？(A)對於某些初值，方程式的解會收斂到零(B)對於任何非零之初值，方程式的解是一個頻率為ω之週期函數(C)對於任何非零之初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率ω產生變化 (D)對於任何非零之初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數

14考慮一個初始值問題（initial-valueproblem）__微分方程：，初始條件：y(0)=2、y'(0)=-1。如果我們將本問題的解答y(x)寫成幂級數（power series）的形式：，那麼，a₂=？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將a₂與y''(0)做連結）(A) -1 (B) (C)0 (D)

15下列關於拉普拉斯轉換（Laplacetransformation）之敘述，何者錯誤？(A) L( f + g) = L( f ) + L( g) (B) ，其中為 L 之逆轉換 (C) L( fg ) = L( f ) L( g ) (D) L( f' ) = s • L( f ) ，其中 f' 為 f 之導函數，且 f (0) = 0

16考慮以下函數：f(t)=1，當0≤t≤2；f(t)=0，當t≤0或t≥2。下列敘述何者正確？ (A)函數f(t)之傅立葉轉換（Fouriertransform）為F(ω)=(B)函數g(t):=f(t+1)之傅立葉轉換（Fouriertransform）為G(ω)=cos(ω₀t) /f(t)   (C)函數 h(t ) := cos(ω₀t ) f (t ) 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 H (ω) = 2sin(ω- ω₀ ) / (ω - ω₀ ) (D)函數 m (t ) := f ( -t ) 之傅立葉轉換（Fourier transform）為 M (ω) = - sin(ω) /ω

17考慮一隨機變數x，其機率密度分布函數具有下列形式：f(x)=1-|x|,|x|≤1，且f(x)=0,x>1。 請問x之變異數（variance）為何？(A) (B)2/3 (C)1 / 6 (D)

18有兩個連續的隨機變數X與Y，它們的合併機率密度函數（jointprobabilitydensityfunction）為：

其中 A 為常數。請問隨機變數 X 的期望值（expectation）為下列何者？(A)(B)(C)(D)

20 請問的主值（principalvalue）為何？ (A)0(B)-i(C) (D)

(一)令代表X的機率密度函數（probabilitydensityfunction），則=？（5分）

(二)令代表Y的機率密度函數，則=？（5分）

(一)考慮如下所示的曲線：C₁：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為 3的圓） ，從z=3+0⋅i（）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問=？

(二)考慮如下所示的曲線：C₂：|z−i|=2（即以0+1⋅i為中心、半徑為2的圓），從z=0+(-1)•i逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問=？