115年 - 教育部受託辦理115學年度公立高級中等學校教師甄選：數學科#139603

1. 設 \(n = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{64} + 1)(2^{128} + 1)\)，則 n 的整數部分是幾位數？(A) 75 (B) 76 (C) 77 (D) 78。

2. 兩平面向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，已知 \(\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1\)，且 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 的夾角為 \(120^{\circ}\)，下列哪一個選項數值最大？(A) \(\left|\vec{a} +\vec{b}\right|\) (B) \(\left|\vec{a} -\vec{b}\right|\) (C) \(\left|\vec{a}\right|\) (D) \(\sqrt{2}\left|\vec{b}\right|\)。

3. 坐標平面上三角形 ABC 的三個頂點中，A(-4,0)，C(4,0)，而另一頂點 B 在橢圓 \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)，\(\frac{\sin A + \sin C}{\sin B}\) 為何？(A) \(\frac{1}{3}\) (B) \(\frac{2}{3}\) (C) \(\frac{3}{4}\) (D) \(\frac{5}{4}\)。

4. 在直線 L: 2x + 3y = 7 上，且位於圓 \(C: x^2 + y^2 = 73\) 內部的格子點個數為何？(A) 4個 (B) 5個 (C) 6個 (D) 7個。

5. 若 \(\frac{n!}{12^{20}}\) 為整數，則正整數 n 的最小值為？(A) 45 (B) 48 (C) 60 (D) 64。

6. 平面上有36條兩兩相互不平行的直線，在這些直線所形成的所有交角中，最小角的角度為 \(\theta\)，則 \(\theta\) 的最大值為？(A) \(5^{\circ}\) (B) \(6^{\circ}\) (C) \(8^{\circ}\) (D) \(10^{\circ}\)。

7. 箱子中有100顆球，其中有25顆黑球、25顆白球、25顆紅球與25顆黃球，任意取出 k 顆球，若希望取出的球中一定有10顆(或以上)同色的球，則 k 的最小值為何？(A)36 (B)37 (C)40 (D)41。

8. 設 n 為正整數，若 \(n^n\) 為 n 位數，則滿足條件的 n 有幾個？(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 無限多個。

9. 設數列 \(\langle a_n \rangle\) 的一般項 \(a_n = \sqrt{n^2 + n} - n\)，則 \(\lim_{n \to \infty} a_n = ?\) (A) 0 (B) \(\frac{1}{2}\) (C) 1 (D) 不存在。

10. \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} = ?\) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 不存在。

11. 設函數 \(f(x) = \int_0^{x^2} \sqrt{t^2 + 1} \, dt\)，則 f'(1) = ? (A) \(\sqrt{2}\) (B) \(2\sqrt{2}\) (C) 4 (D) \(4\sqrt{2}\)。

12. 下列有關指數與對數函數的選項，請選出正確的選項。(A) 對所有實數 t，指數方程式 \(10^x = t\) 恆有解。(B) 對所有實數 s，對數方程式 \(\log x = s\) 恆有解。(C) 底數 a > 1 的指數函數 \(y = a^x\) 與對數函數 \(y = \log_a x\) 的圖形一定相交。(D) 若 a > 1，\(y = a^x\) 與直線 x + y = 5 相交於點 (2,3)，則 \(y = \log_a x\) 與直線 x + y = 5 相交於點 (3,2)。

13. 不等式 \(x(x - 2)(x + 3) \leq 0\) 的解與下列那些相同？(A) \(x(x - 2)^3 (x + 3)(x^2 + 1) \leq 0\) 。(B) \((x^{2} + x - 6)(x^{5} + 6x^{3} + 9x) \leq 0\) 。(C) \(x^{2}(x - 2)(x + 3) \leq 0\) 。(D) \(x^{2}(x^{2} + x - 6) \leq 0\) 。

14. 坐標空間中一平面與 \(E_{1}: 2x - y + z = 5, E_{2}: x + y + 2z = 4\) 分別交於直線 \(L_{1}, L_{2}\)。已知 \(L_{1}, L_{2}\) 互相平行，且 \(L_{1}\) 通過點 \(P(3,0,-1), L_{2}\) 通過點 Q(1,1,1)，若直線 L 為平面 \(E_{1}, E_{2}\) 的交線，則下列哪些正確？(A) 平面 \(E_{1}, E_{2}\) 的親夾角為 \(60^{\circ}\) 。(B) 直線 \(L_{1}\) 的方程式為 x - 3 = -y = z + 1 。(C) 點 P 到直線 L 的距離為 \(\sqrt{2}\) 。(D) 直線 PQ 到直線 L 的距離為 \(\sqrt{2}\) 。

15. 已知實係數多項式 f(x) 最高次項係數為正。又 f(x) 在 x = 1,4 處有極小值，且在 x = 3 處有極大值。根據上述條件，試選出正確的選項。(A) f(1) < f(3) 。(B) 存在實數 a, b 滿足 1 < a < b < 3 ，使得 f'(a) > f'(b) 。(C) f''(1) > 0 。(D) f(x) 的次數可能為5。

16. 從1到20的正整數當中任意選取數字，試選出正確的選項。(A) 選三個數字，此三數可以形成等差數列的情形有90種。(B) 選三個數字，此三數乘積為4的倍數的情形有570種。(C) 選四個數字，此四數可以形成等差數列的情形有63種。(D) 選四個數字，此四數乘積為4的倍數的情形有4035種。

17. 設 \(\omega = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}\)，其中 \(i = \sqrt{-1}\)，試選出正確的選項。(A) \((\omega - 1)(\omega^2 - 1)(\omega^3 - 1)(\omega^4 - 1) = 1\) 。(B) \((\omega + 1)(\omega^2 + 1)(\omega^3 + 1)(\omega^4 + 1) = 1\) 。(C) \(\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{\omega^3} + \frac{1}{\omega^4} = 2\) 。(D) \(\frac{1}{\omega + 1} + \frac{1}{\omega^2 + 1} + \frac{1}{\omega^3 + 1} + \frac{1}{\omega^4 + 1} = 2\) 。

設 a > 0 ，若 xy - 3x + y = 0 ，且 \(a^x = 10^y = 8\) ，則 \(a = ____________\)。

2. 定積分 \(\int_{-1}^{7}(-2 + \sqrt{-x^2 + 6x + 7})dx\) = ＿＿＿＿＿＿＿＿。

3. 若實數 a 可以讓複數 \(z = (3a + \cos \theta) + (a - \sin \theta)i\) 滿足：對任意實數 \(\theta, |z| \leq 3\) 均成立，則實數 a 的範圍為 ＿＿＿＿＿＿＿＿。

4. 對任意實數 x，函數 f(x) 滿足 \(f(x + 2) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}\)，若 f(1) = 2, f(2) = -3，則 \(f(118) = ＿＿＿＿＿＿＿＿\)。

5. 設 a 為實數，若方程式 (|x + 5| - 1)(x + 2) = a 有三個相異實根，則 a 的範圍為 ＿＿＿＿＿＿＿＿。

6. 現有15個糖果，甲、乙兩人輪流拿糖果，每次只能拿1個或2個，拿完為止。若由甲先拿，且最後一次也由甲拿完剩餘糖果，則兩人拿糖果過程的可能情形有 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 種。

7. 設 A, B, C 為平面上三點，若 \(\overline{AB}, \overline{AC} = 2, \overline{BA}, \overline{BC} = 4, \overline{CA}, \overline{CB} = 6\)，則 \(\triangle ABC\) 的面積為＿＿＿＿＿＿＿＿。

試用兩種高一同學可理解方法證明：\(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)。

坐標平面上，設 \(A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2})\) 為拋物線 \(y = ax^{2}\) 上的相異兩點，且過 A 作此拋物線的切線為 \(L_{1}\)，過 B 作此拋物線的切線為 \(L_{2}\)。若 \(L_{1}\) 和 \(L_{2}\) 交於點 \(P(x_{3},y_{3})\)，試證明 \(x_{3} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\)。

設 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) 是三角形 ABC 的三個內角，證明 \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\)。