115年 - 115-1 國立嘉科實驗高級中學_教師甄選試題_高中部：數學科#138615

1. 計算無窮級數之值為_____。

2. 設A = 69⁶ + 6 × 69⁵ + 15 × 69⁴ + 20 × 69³ + 15 × 69² + 6 × 69 + 1，則A之正整數因數共有________個。

3. 設a,b為正實數，且= 1，如果2025a² = 2026b²，則=______。

4. 已知實數a, b, c滿足下列條件:

則a + b + c之值為__________。

5. 在一個盒子中裝有 2026 張卡片，卡片上的編號依次為1,2,3, ⋯ ,2025,2026，現在每次抽取一張卡片，每張卡片被抽取的機會均等，抽取後就不再放回，共抽取 k 次卡片。設隨機變數 ? 為這 k 次抽取 的卡片的最大編號，則使得 E(x) ≥ 2000 的最小的 k 的值為_________。

6. 設 f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1，其中 a, b, c 均為實數。已知 f(x) = 0 的所有根在複數平面的單位圓內或圓上，則 a² + c² − 8b 的最大值為____________。

7. 投擲一個公正骰子四次，試求投出的四個數的乘積為完全平方數的機率。

8. 已在坐標平面上，滿足以下不等式
|3x + 2y − 2| + |3x − 2y + 5| + |3x + 2y + 2| + |3x − 2y − 5| ≤ 14
的點 (x, y) 所成的圖形面積為 ___________。

二、計算證明題
1. △ABC中，，若P點在上使得， 試證：∠CAP = 2∠CPA。

2. 設x, y, z為正實數且滿足x² + y² + z² = 3，
試證明：≥ 1。

三、申論題
1. 現今 AI 科技盛行，已應用至各行各業，欲從事數學教學工作者，更須了解 如何在教育上運用 AI 軟體。請就你(妳)的觀點，具體敘述在數學科教學上 及學生的學習如何運用 AI 軟體協助，以增進教師教學及學生學習成效。

2. 在二次曲線的教學中，學生對於「橢圓」的長軸與短軸通常能有直觀的幾 何感受，因為它們具體對應了橢圓圖形的長度與寬度。然而，在進入「雙 曲線」單元時，學生經常對「共軛軸」與「漸近線」的概念感到十分抽象與虛幻。請依序回答下列問題：
(1) 請說明你會如何跟學生解釋雙曲線共軛軸的概念，並說明如何在給定的雙曲線中畫出其共軛軸並定義共軛軸長。

① 為什麼雙曲線向外延伸時，會越來越「貼近」這兩條直線(漸近線)？

② 為什麼雙曲線永遠「不會碰到」這兩條直線(漸近線)？