115年 - 115-1 臺北市立大安高工教師甄選試題：數學科#138455

1. 若[x]表示小於或等於實數x的最大整數值，則=？

2. 坐標平面上，x坐標與y坐標均為整數的點稱為格子點。令n為正整數，為平面上以直線y=，以及x軸、y軸所圍成的三角形區域(包含邊界)，而a_n為T_n上的格子點數目，則a_n=？(以n表示)

3. 在人工智慧的分類技術中，用到以曲線來分類不同物件的概念。設平面上有七個點A(-1,1)、B(-3,1)、C(2,3)、D(-1,2)、E(1,0)、F(1,-3)、G(3,5)分屬●、▲兩類。已知其中●類包含點A,C,E,G，而▲類包含點B,D,F。若欲使用曲線Γ：y²=x³+tx²+1將這七個點「正確分類」(即某一類的所有點皆滿足y²＜x³+tx²+1，另一類的所有點皆滿足y²＞x³+tx²+1)，則實數t的範圍為何？

4. 設銳角三角形ABC的外接圓半徑為8，已知外接圓圓心到的距離為2，而到的距離為7，則內切圓半徑為？

5. 已知x,y,z為實數，，x+y+z為整數，求x+y+z的值？

6. 坐標空間中，考慮一個正四面體，其所有頂點的z坐標皆滿足0≤z≤6。已知此正四面體至少有一個頂點在平面z=0上，且至少有一個頂點在平面z=6上，求此正四面體邊長的最大可能值？

7. 大安高工舉辦音樂會，包含鋼琴表演2個、小提琴表演2個、歌唱表演2個，共6個不同的曲目。為了避免節目過於單調規定同類型的表演不能排在一起(2個鋼琴不能相鄰、2個小提琴不能相鄰、2個歌唱也不能相鄰)，試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？

8. 已知f(x)、g(x)、h(x)皆為實係數三次多項式，且除以x²-x+2的餘式分別為2x+1、x-1、x+2。若x·f(x)+a·[g(x)]²+b·h(x)可以被x²-x+2整除，其中a,b為實數，則數對(a,b)=？

9. 設z為複數，在複數平面上，一個正八邊形依逆時針方向的連續三個頂點為z、0、z-1--i(其中i=)，則z的實部為？

10. 坐標平面上，在以O(0,0), A(0,2), B(2,2), C(2,0)為頂點的正方形(含邊界)內，令R為滿足下述條件的點P(x,y)所成區域，與點P(x,y)的距離為|x-y|之所有點所成圖形完全落在正方形OABC(含邊界)內。則區域R的面積為？

11. 在平面坐標上，Γ是以x軸和L:3x-4y=0為兩漸近線的雙曲線圖形，今利用旋轉矩陣A將Γ圖形經過線性幾何變換後，會讓新雙曲線圖形的貫軸會落在坐標軸上，試寫出所有符合敘述的矩陣A？

12. 已知△ABC中，∠A=90°，三角形內部一點P，符合，且=132、=14，試求=？

13. 已知z=，試問z+z²+z⁴的值為何？

14. 在△ABC中，已知tanA, tanB, tanC皆為正整數，試問tanA+tanB+tanC的值為何？

15. =？

16. 實數a,b,c,d滿足，求bd的最大值？

17. 若多項式(1+x+x²+x³)¹⁰的展開式為1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₃₀x³⁰，試求a₆=？

18. 今包含甲共k個人在練習傳球，並可自由地傳給另外一個人，倘若彼此一共傳球n次。球首先從甲手中傳出，若第n次最後傳回甲的手上，共有幾種不同的傳球方法？

19. 已知正四面體ABCD中，E點落在上，且；F點落在上，且，若與的夾角為θ，試求sinθ=？

20. 求a≠0且滿足=3，a=？

 (1)當m=2時，試求出在x≥0的範圍內，Γ與L的三個相異交點的x坐標。(2分)

(2)承(1)，試求Γ與L所圍有界區域面積的值。(4分)

(3)在x≥0的範圍內，若Γ與L有三個相異交點，則滿足此條件的m之最大範圍為a＜m＜b，試求a、b之值。(4分)

 (1)試求f(1)。(2分)

(2)試求f(x)。(4分)

(3)試證明恰有一個大於1的正實數a滿足。(4分)

 (1)這算式問題核心出自於哪裡？(3分)

(2)如何以學生所學數學知識作出正確解釋？(3分)

(3)於是在作極限的教學時，應該要注意什麼？(4分)

 (1)設f(x)為多項式，若3f(x²)+x·f(x)=3x³+4x²-x+6，試求f(x)的所有係數和？

(2)若方程式x²+4x+6=0之兩根為α,β，則=？