98年 - 98 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所：數理統計#147979

科目：研究所、轉學考(插大)◆數理統計學 | 年份：98年 | 選擇題數：0 | 申論題數：12

試卷資訊

所屬科目：研究所、轉學考(插大)◆數理統計學

選擇題 (0)

申論題 (12)

1. 設 $X, Y$ 為二獨立的 $\mathcal{C}(0, a)$ 分佈隨機變數，$a > 0$。令 $Z = X/Y$。
(i) 試求 $Z$ 之機率密度函數(p.d.f)$f$。
(ii) 試給出 $f$ 之不連續點之集合。
(iii) 試求 $Z$ 之期望值。
(iv) 試求 $U = 1/Z$ 之分佈。
2. 設 $X1, \cdots, Xn$，為一組由 $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 分佈所產生之隨機樣本。$\mu, \sigma^2$ 皆設為未知。
(i) 試給出 $\theta = (\mu, \sigma^2)$ 之一完備充分統計量。
(ii) 試給出 $\sigma$ 之UMVUE $\hat{\sigma}$。
(iii) 試證 $n \to \infty$ 時，$\sqrt{n}(\hat{\sigma} - \sigma) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, \sigma^2/2)$。
(iv) 試求 $\lim_{n \to \infty} nVar(\hat{\sigma})$。
3. 設 $X1, \cdots, Xn$，為一組由 $\mathcal{N}(\theta1, \theta3)$ 分佈所產生之隨機樣本，$Y1, \cdots, Ym$ 為一組由 $\mathcal{N}(\theta2, \theta3)$ 分佈所產生之隨機樣本，二組隨機樣本假設為相互獨立。又設 $\theta1, \theta2 \in R, \theta3 > 0$ 皆為未知。欲檢定 $H0: \theta1 = \theta2$，vs. $Ha: \theta1 \neq \theta_2$。在 $n+m > 2$ 之假設下，試求概似比檢定(LRT, likelihood ratio test)。
4. 設 $X1, \cdots, Xn$ 為一組由 $\mathcal{P}(\theta)$ 分佈所產生之隨機樣本，又設 $\theta$ 之事前分佈為 $\Gamma(r, \beta)$。令 $\mathbf{X} = (X1, \cdots, Xn)$。
(i) 在給定 $\mathbf{X} = \mathbf{x}$ 下，試求 $\theta$ 之事後分佈。
(ii) 試求 $\theta$ 之一 $(1 - \alpha)$ 貝氏信賴區間。
5. 設 $\{X1, \cdots, Xn\}, \{Y1, \cdots, Ym\}$ 為二組獨立的樣本，分別以 $F1$ 及 $F2$ 為其共同的分佈函數。欲檢定 $H0: F1 = F2$，vs. $Ha: F1 > F2$。試給出一顯著水準為 $\alpha$ 之檢定。並說明樣本數較大時，可取何近似的拒絕域。