15. 試求極限式之值為何？
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統計： A(9), B(31), C(21), D(14), E(0) #2683179

國峰

B1 · 2026/03/11

#7314566

我們先處理分子部分的 $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2}$：

$$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2} = \frac{2 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

原式可以寫成：

$$\lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{x - 4}$$

這裡利用平方差公式的變形：$x - 4 = (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)$。

注意分子是 $2 - \sqrt{x}$，而分母含有 $\sqrt{x} - 2$，兩者互為相反數，即 $2 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 2)$。

$$\lim_{x \to 4} \frac{-( \sqrt{x} - 2 )}{2\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}$$

約掉共通項 $(\sqrt{x} - 2)$：

$$\lim_{x \to 4} \frac{-1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}$$

現在將 $x = 4$ 代入：

$$\frac{-1}{2\sqrt{4}(\sqrt{4} + 2)} = \frac{-1}{2(2)(2 + 2)} = \frac{-1}{4 \cdot 4} = -\frac{1}{16}$$

如果你熟悉微分，這題會更快。分子 $x^{-1/2} - \frac{1}{2}$ 的微分是 $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$，分母 $x-4$ 的微分是 $1$。

$$\lim_{x \to 4} \frac{-\frac{1}{2}x^{-3/2}}{1} = -\frac{1}{2}(4)^{-3/2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{16}$$

該極限式的值為 $-\frac{1}{16}$（或約為 $-0.0625$）。

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