2、有一等腰直角三角形，其內接圓半徑 r 與外接圓半徑 R 之關係為？
(A) R=√2r
(B) R=(1+√2)r
(C) R=(1+√3)r
(D) R=2r

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統計： A(55), B(278), C(55), D(50), E(0) #2067756

詳解 (共 4 筆)

#5346981


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#3601923
直角三角形三邊為a b c，則a^2+b...
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#6406262

Step 1：先定義這個三角形長怎樣

設這個等腰直角三角形的兩直角邊長為 1、1
→ 斜邊長 = √(1² + 1²) = √2

 Step 2：外接圓半徑 R 是多少？

  • 外接圓圓心是斜邊中點

  • 所以外接圓半徑 = 斜邊的一半 = √2 ÷ 2
     得到：

R = √2 / 2

 Step 3：內接圓半徑 r 怎麼求？

內接圓半徑公式是：

r = A / s
其中：

  • A = 三角形面積= (1 × 1)/2 = 1/2

  • s = 三角形半周長 = (1 + 1 + √2) ÷ 2 = (2 + √2)/2

代入公式：

r = (1/2) ÷ ((2 + √2)/2)
  = 1 / (2 + √2)

Step 4：算 R/r

我們有：

  • R = √2 / 2

  • r = 1 / (2 + √2)

代入 R ÷ r：

R / r
= (√2 / 2) ÷ (1 / (2 + √2)) 
= (√2 / 2) × (2 + √2)
= √2 × (2 + √2) / 2
= (2√2 + 2) / 2
= √2 + 1

結論：

R / r = √2 + 1
所以：R = (√2 + 1) × r

 正確答案是：

(B) R = (1 + √2) r

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#6055036
等腰直角三角形三邊為1 : 1 :√2
外接圓半徑R=直角三角形斜邊長的一半=√2/2
內接圓半徑r= (兩股和-斜邊)/2= (1+1-√2)/2=(2-√2)/2
ㅤㅤ
R=[√2/2  ÷  (2-√2)/2]r
共同約掉分母2
R=√2 r
     (2-√2)
ㅤㅤ
再利用(x-y)(x+y)=x^2-y^2
將分母與分子同乘(2+√2)
R =√2(2+√2) r
     (2-√2)(2+√2)
= (2√2+2)r
       4-2
ㅤㅤ
=(√2+1)r
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