7. 阿德想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇： 牛肉麵、大滷麵、雞腿飯及排骨飯。阿德想要依據下列兩原則來安排他的午 餐： (1)每天只選一種餐點 (2)五天裡每一種餐點至少各點一次 (3)連續兩天的餐點不能重複 根據上述原則，阿德這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(A)180
(B)144
(C)120
(D)96

邏輯分析步驟

我們將題目條件拆解如下：

1. 五天，四種餐點：這意味著必須有一種餐點出現兩次，另外三種各出現一次。

2. 每一種至少一次：確認了上述重複的規則。

3. 連續兩天不重複：這表示兩個重複的餐點不能排在一起。

計算過程

第一步：選擇哪個餐點重複

四種餐點中選出一種要重複的，有幾種選法？

假設我們選定「牛肉麵」重複，剩下的餐點為：{ A, A, B, C, D }。

第二步：排列這五個餐點（且重複的不相鄰）

我們使用「總數扣除法」：

1. 計算所有排列總數： 將 { A, A, B, C, D } 視為五個物件排列，其中 { A } 有兩個。

   總排列數 = 5!/2! = 120/2 = 60種

2. 扣除「不合條件」的情況（即 A 與 A 相鄰）： 將 AA 綁在一起視為一個單位，現在我們排列 { (AA), B, C, D } 四個單位。

   相鄰排列數 = 4! = 24種

3. 得到合乎規則的排列數：

   合法排列 = 60-24 = 36種

第三步：計算總計畫

將選餐點的選擇數乘以每一種選法的排列數：

結論

阿德這五天共有 144 種不同的午餐計畫。

正確答案為 (B) 144

解題小撇步：

遇到「重複項目不可相鄰」的限制時，「總排列數 - 相鄰排列數」是最快也最不容易出錯的方法。只要算清楚重複的項目選哪一個，再把不合規矩的（捆綁起來）扣掉即可！