申論題

二、臺灣量子國家隊已成軍 5 年，去年突破技術瓶頸，成功自製出 5 量子位 元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電 腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令變數 T₁ , T₂ , T₃ 分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元件的壽命是 X = Max{Min{T₁ , T₂ }, T₃ }，此處 Max{a, b} 代表取 a, b 之最大值， Min{a, b} 代表取 a , b 之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨 立，皆服從具有平均數為 2 之指數分配。 （每小題 10 分，共 20 分）

(一)求出變數 X 之機率密度函數 f ( x) 。