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研究所、轉學考(插大)◆線性代數
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110年 - 110 國立政治大學_碩士暨碩士在職專班招生考試_應用數學系:線性代數#139827
> 申論題
題組內容
4.
(a) (7 points) Evaluate
$$ \int \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} \, dx. $$
相關申論題
(b) (7 points) Evaluate$$ \int_0^1 \frac{dx}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}. $$
#574656
(a) (7 points) Use a suitable change of variable to compute$$\iint_R (x + y)^2 e^{x^2 - y^2} \mathrm{d}A,$$where $R$ is the square with vertices $(1,0), (0,1), (-1,0)$ and $(0, -1)$
#574657
(b) (7 points) Evaluate$$\iiint_{x^2 + y^2 + z^2 \leq 1} e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \mathrm{d}V.$$
#574658
(a) (3 points) Find radius and interval of convergence.
#574659
(b) (6 points) Show that for $|x| < 1$:$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1 - x}{x^2} \ln(1 - x) + \frac{1}{x}$$
#574660
(c) (6 points) The function on the right-hand side of (1) has a removable discontinuity at $x = 1$. Remove it and then show that (1) also holds for $x = 1$.
#574661
(a) (6 points) Consider$$f(x) = \int_{\tan x}^{x/4} \sin(t^2) \mathrm{d}t.$$Compute $f'(\pi)$
#574662
(b) (8 points) Suppose that $f(0) = 0$ and$$f'(\ln x) = \begin{cases} 1, & \text{if } 0 < x \leq 1; \\ x, & \text{if } 1 < x < \infty. \end{cases}$$Find $f(x)$ | | | | | |
#574663
1. (15%) Prove that there exists a linear transformation T:R²→R³ such that T(1,1)=(1,0,2) and T(2,3)=(1,-1,4). What is T(8,11)?
#574664
2. (15%) Find linear transformations U,T:F²→F² such that UT=T₀ (the zero transformation) but TU≠T₀.
#574665
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