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98年 - 98 淡江大學 轉學考 代數#55938
> 申論題
題組內容
6 (15 points) Let R be an integral clomam. .
(b) Suppose ihnl R is a PID. Show tlmt, every irreducible element in /i! is a prime.
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(b) (5 points) Let a，b and c bo, intege.vs. If a and c arc relatively prime, show that, c | ab itnplies that- c | b.
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(a) Show that if a2 + b2 is a prime in % iJicn a b√-l is a prime in R. Give an example f,o show I,hah the convcrae is not. trvio,
#211897
.3. (15 points) (a) Construct a field F over Q such l-hal; x7 +2x + 2 has a root, in F. Find the degree of extension of F over Q.
#211900
(h) Construct a finite field of 27 eloinctits.
#211901
(a) Show f,hat for any d | n, there is a subgroup of order d,
#211902
(a) Show llmt every prime olcrrient in R is irrexlnciblo,
#211907
(c) [8%] Let f(x) = xn-x -1 for n≥ 2. Show that if a monicsatisfies
#429748
(b) [8%] Show that for n ≥ 2 and f(x) = xn -x - 1, the two polynomials have no root in common in C.
#429747
(a) [4%] Let be a monic with f(0) = ±1 such thathave no common root in C. Suppose f(x)=g(x)h(x)for non n-constant.Show that there exists a monic
#429746
(c) [5%] Determine the cardinality of invertible 2 x 2 matrices with coeficients in Z/n2 whose determinants are equal to 1 in terms of Φ(n).
#429745
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