(b) \((5\%)\) Let \(Y_{2}\) denote the second smallest item from this sample. Find the limiting distribution of \(W_{n} = nF(Y_{2})\).

(c) (5%) Find the maximum likelihood estimator (MLE) \(\theta_{n}\) of \(\theta\).

(d) (5%) Prove that \(\theta_{n}\) is a consistent estimator of \(\theta\).

(e) (5%) Find an unbiased estimator \(\tilde{\theta}_n\) of \(\theta\).

(f) (5%) Find the MLE of the median of the distribution for this sample.

Table 1: Area under the standard normal curve II. A. Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be a random sample from a $U(0, \theta)$ population. (a) (7%) Consider $H_0: \theta = \theta_0$ versus $H_1: \theta \neq \theta_0$ and define $X_{(n)} = \max_{1 \leq i \leq n} X_i$. Show that $$T^*(X): \text{Reject } H_0 \text{ if } X_{(n)} > \theta_0 \text{ or } X_{(n)} \leq \theta_0 \alpha^{1/n}$$ is a uniformly most powerful (UMP) test of size $\alpha$.

(b) (7%) Find the uniformly most accurate (UMA) \(1 - \alpha\) confidence interval. Prove your claim.

(c) (7%) Is your finding in Problem b the shortest length confidence interval (C.I.)? Prove your claim.

B. Suppose that the random variables $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ satisfy $$Y_i = \beta x_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n,$$ where $x_1, x_2, \ldots, x_n$ are fixed constants, and $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ are iid $N(0, \sigma^2)$ with $\sigma^2$ unknown. (a) (7%) Find a two-dimensional sufficient statistic for \((\beta, \sigma^2)\).

(b) (7%) Find the MLE of \(\beta\), and show that it is an unbiased estimator of \(\beta\).

(c) (7%) Find the UMVUE of \(\beta\).

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147002

115年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146998

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311

109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146988