(c) (7%) Is your finding in Problem b the shortest length confidence interval (C.I.)? Prove your claim.

B. Suppose that the random variables $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ satisfy $$Y_i = \beta x_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n,$$ where $x_1, x_2, \ldots, x_n$ are fixed constants, and $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ are iid $N(0, \sigma^2)$ with $\sigma^2$ unknown. (a) (7%) Find a two-dimensional sufficient statistic for \((\beta, \sigma^2)\).

(b) (7%) Find the MLE of \(\beta\), and show that it is an unbiased estimator of \(\beta\).

(c) (7%) Find the UMVUE of \(\beta\).

C. (8%) Feller Weak Law of Large Numbers Suppose that $X_1, X_2, \ldots, X_n$ are iid random variables and define $S_n = \sum_{j=1}^n X_j$. If $$\lim_{x \to \infty} x P[|X_1| > x] = 0,$$ then $$\frac{S_n}{n} - E[X_1 1_{[|X_1| \leq n]}] \xrightarrow{p} 0 \text{ as } n \to \infty,$$ where $1_{[\cdot]}$ is an indicator function. Let $F$ be a symmetric distribution and suppose $$1 - F(x) = \frac{e}{2x \ln x}, \quad x \geq e.$$ Suppose that $\{X_n, n \geq 1\}$ is an iid sequence of random variables with comment distribution $F$. Show that the sample mean converges in probability to 0.

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#147002

115年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146998

112年 - 112 國立成功大學_碩士班招生考試_統計學系﹕數學#130253

111年 - 111 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146986

110年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146993

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_統計研究所/不分組(一般生、在職生):數理統計#105405

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_財務金融學系/乙組(一般生):數理統計#105304

110年 - 110 國立政治大學_碩士班暨碩士在職專班招生考試_統計學系:數理統計學#103311

109年 - 109 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：數理統計#146988