四、有一動態系統模型為617f81da4309e.jpg617f81f998c38.jpg。請利用相似轉換（similarity transformation）方法，將此動態系 統模型轉換為另一個新的動態系統模型：617f821e52e6e.jpg，其中兩個 動態系統模型之狀態關係為：617f825d25273.jpg，請求出新的動態系統模型之矩陣617f829312d44.jpg。（20 分）

詳解 (共 1 筆)

楊益維
楊益維
詳解 #7367411
2026/05/10

這是一題關於線性系統中相似轉換（Similarity Transformation）的典型計算題。相似轉換的目的是透過座標變換，在不改變系統特徵（如特徵值）的情況下，求得系統的新矩陣表示式。

一、 相似轉換的基本公式

給定狀態變換關係為 $x(t) = P\bar{x}(t)$，其中 $P$ 為轉換矩陣。

新系統的矩陣 $\bar{A}, \bar{B}, \bar{C}$ 與原矩陣的關係如下：

  1. $\bar{A} = P^{-1}AP$

  2. $\bar{B} = P^{-1}B$

  3. $\bar{C} = CP$

根據題目給予的條件：

$A = \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ 12 & 16 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$, $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$

二、 計算過程

1. 求轉換矩陣的逆矩陣 $P^{-1}$

首先計算 $P$ 的行列式：$\det(P) = (1)(4) - (2)(1) = 2$。

利用公式 $P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$：

$$P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix}$$

2. 計算新矩陣 $\bar{A}$

$$\bar{A} = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ 12 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$

先算前兩項相乘：

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ 12 & 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (4-12) & (-12-16) \\ (-1+6) & (3+8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & -28 \\ 5 & 11 \end{bmatrix}$$

再乘上 $P$：

$$\bar{A} = \begin{bmatrix} -8 & -28 \\ 5 & 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-8-28) & (-16-112) \\ (5+11) & (10+44) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -36 & -128 \\ 16 & 54 \end{bmatrix}$$

3. 計算新矩陣 $\bar{B}$

$$\bar{B} = P^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0-2) & (-2-1) \\ (0+1) & (0.5+0.5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

4. 計算新矩陣 $\bar{C}$

$$\bar{C} = CP = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+1) & (2+4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \end{bmatrix}$$

三、 最終答案

新的動態系統模型矩陣為：

  • $\bar{A} = \begin{bmatrix} -36 & -128 \\ 16 & 54 \end{bmatrix}$

  • $\bar{B} = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

  • $\bar{C} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \end{bmatrix}$

? 觀念叮嚀

相似轉換是線性代數與控制工程中非常強大的工具。請記住，雖然變換後的矩陣數值變了，但系統的傳遞函數（Transfer Function）以及特徵值（Eigenvalues）是保持不變的。如果時間允許，你可以檢查 $\det(sI - A)$ 與 $\det(sI - \bar{A})$ 是否相同來驗證結果！