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115年 - 115-1 新北市立板橋高級中學_正式教師甄選試題:數學科#139339
> 申論題
3. 袋中有 \(3\) 個白球,\(4\) 個紅球,\(5\) 個黑球。今自袋中取球,每次取一球,取後不放回,若每一球被取到的機會均等,則白球最先被取完,且紅球比黑球先被取完的機率為______。
相關申論題
4. 多項式 \(f(x)\) 的次數為 \(10\),且滿足 \(f(k) = k + \frac{1}{k}\),\(k = 1, 2, 3, \dots, 11\)。試求 \(f(13)\) 之值為______。
#571979
5. 如圖,平面四邊形 \(ABCD\) 中,若已知 \(\angle ACB = 90^\circ\),\(\angle ABD = \alpha\),\(\angle ACD = \beta\),且 \(\overline{AB} = \overline{BD}\),\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\),\(\cos \beta = \frac{5}{13}\),則 \(\tan \angle ABC =\) ______。
#571980
6. 設 \(z\) 為複數且 \(|z| = 1\),則 \(\left| z^3 - 3z - 2 \right|\) 的最大值為______。
#571981
7. 平面坐標上有一以原點為圓心的單位圓 \(C\),點 \(P\) 為圓 \(C\) 上動點,及一定點 \(A(2, 0)\)。以 \(P\) 點為中心,將 \(A\) 點逆時針旋轉 \(90^\circ\) 得點 \(B\),則點 \(B\) 的軌跡方程式為______。
#571982
8. 若 \(x > 0\),則 \(x^3 + 3x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^3}\) 的最小值為______。
#571983
9. 已知一組二維數據 \((X, Y)\),其相關係數為 \(\frac{1}{2}\),且 \(X, Y\) 的標準差分別為 \(1, 2\)。若 \(Z = X + Y\),則 \((X, Z)\) 的相關係數為______。
#571984
10. 設多項式函數 \(y = f(x)\) 滿足 \(f(x) = -8x^3 + 33x^2 - 18x + \int_0^x f(t) dt\),求 \(f(x) =\) ______。
#571985
11. 有一個均勻的正四面骰子,其四面點數分別為 \(1, 2, 3, 4\)。重覆擲此正四面骰子,並觀察底面出現的點數,直到出現點數連續四次依序為 \(1, 2, 3, 4\) 時停止,試問總投擲次數的期望值為______。
#571986
12. 在矩形 \(ABCD\) 中,\(\overline{AB} = 3\),\(\overline{AD} = 4\),\(E\) 為 \(\overline{AB}\) 上一點,且 \(\overline{AE} = 1\),現將 \(\triangle BCE\) 沿 \(\overline{CE}\) 折起,使得 \(B\) 點在平面 \(AECD\) 的投影恰好落在 \(\overline{AD}\) 上,則四角錐 \(B - AECD\) 的體積為______。
#571987
1. 已知實數 \(x, y, z\) 滿足 \(\begin{cases} x + 5 = y + z \\ z^2 + xy = 3z - 5 \end{cases}\),試求 \(x^2 + y^2 + xy\) 的最大值及最小值。
#571988
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