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115年 - 115-1 新北市立板橋高級中學_正式教師甄選試題:數學科#139339
> 申論題
10. 設多項式函數 \(y = f(x)\) 滿足 \(f(x) = -8x^3 + 33x^2 - 18x + \int_0^x f(t) dt\),求 \(f(x) =\) ______。
相關申論題
11. 有一個均勻的正四面骰子,其四面點數分別為 \(1, 2, 3, 4\)。重覆擲此正四面骰子,並觀察底面出現的點數,直到出現點數連續四次依序為 \(1, 2, 3, 4\) 時停止,試問總投擲次數的期望值為______。
#571986
12. 在矩形 \(ABCD\) 中,\(\overline{AB} = 3\),\(\overline{AD} = 4\),\(E\) 為 \(\overline{AB}\) 上一點,且 \(\overline{AE} = 1\),現將 \(\triangle BCE\) 沿 \(\overline{CE}\) 折起,使得 \(B\) 點在平面 \(AECD\) 的投影恰好落在 \(\overline{AD}\) 上,則四角錐 \(B - AECD\) 的體積為______。
#571987
1. 已知實數 \(x, y, z\) 滿足 \(\begin{cases} x + 5 = y + z \\ z^2 + xy = 3z - 5 \end{cases}\),試求 \(x^2 + y^2 + xy\) 的最大值及最小值。
#571988
2-(1). 試證:直線 \(L\) 恆過一定點。
#571989
2-(2). 設點 \(F\) 關於直線 \(OB\) 的對稱點為 \(C\),求四邊形 \(OABC\) 面積的最小值。
#571990
3. 設 \(ABCD\) 為圓內接四邊形,點 \(P\) 為其兩對角線的交點。\(P\) 在 \(AB, CD\) 上投影點分別為 \(E, F\),\(\triangle ABP, \triangle CDP\) 的外心分別為 \(G, H\),證明 \(E, F, G, H\) 四點共圓。
#571991
4. 已知實數函數 \(f(x)\) 滿足 \(f(0) = 1013\),且 \(f(x+5) - f(x) \le 3(x+3)\) 以及 \(f(x+15) - f(x) \ge 9(x+8)\),對任意實數 \(x\) 皆成立,求 \(\frac{f(2025)}{2026} = ?\)
#571992
1. 已知曲線 \(\Gamma: y = \frac{x^3}{3} - ax\),其中 \(a > 0\),過原點作曲線 \(\Gamma\) 的切線 \(L\),過原點與切線 \(L\) 垂直的直線為 \(M\)。求直線 \(M\) 與曲線 \(\Gamma\) 所圍的區域面積最小值。
#571993
2. 在空間中,將點 \(p(x_0, y_0, z_0)\) 投影至平面 \(x + y + z = 0\) 的正投影矩陣為 M,試求矩陣 M。
#571994
3. ABCD 為圓內接四邊形, \(\overline{AB} = 1, \overline{BC} = 7, \overline{CD} = 5, \overline{DA} = 5, \overrightarrow{AC} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AD}\),求數對 \((\alpha, \beta)\)。
#571995
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