3. Find the volume of the solid obtained by rotating about the x-axis the region enclosed by the curves , y = 0, x = 0, and = 2.

詳解 (共 1 筆)

助人為本

詳解 #7376443

2026/05/18

所以我們這題要使用圓盤法來解

曲線y=4/x^2+4繞y軸、x軸和x=2沿著x軸繞一圈，會形成立體圖形

然後我們可以想像這個立體圖形切割成無限個小圓盤

1.每個圓盤半徑會等於函數在那點的高度

2.每個圓盤的面積為pi*r^2

3.然後從x=0到x=2所有微小圓盤加總起來

第一步先把函數代入積分式中

然後第二步要用三角代換法(看到x^2+a^2必用tancita)，因為這裡a=2，所以要假設x為2tancita，兩邊同微分可以得到dx=2sec^citadcita

注意:變數換，上下限也要換

把東西全部塞回積分式中，然後提出4，然後利用三角恆等式tan^2cita+1=sec^2cita

化簡完變成這樣

把常數16消掉，並消seccita

最後遇到cos^2cita(用降次公式求解)

然後直接積出來

最後代入上下限(下限:x=0;上限x=pi/4)

最後得到答案為pi^2/4+pi/2