107年 - 107 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#71188

選擇題 (20)

1 假設 A， B 為同階方陣，則下列敘述何者正確？ (A)①②③④皆成立 (B)僅①②③成立 (C)僅②③成立 (D)僅①③成立

2 令 a, b, c 為同維度之三向量，則下列有關其外積（cross product）的敘述何者正確？

(A)a×b=b×a (B)a×(b×c)=(a×b)×c (C)若 a≠0 且 a×b=a×c，則 b=c (D)若 a≠0 且 b≠0，仍有可能 a×b=0

3 令矩陣 A = ⎢⎢0 1 1 ⎥⎥ ，若 A 的秩（rank）為 2，則 a 值為何？ (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1

4 已知 n 為任意正整數，皆為已知常數矩陣，為未知矩陣。若線性方程式系統 Ax = b 存在唯一解，下列何者正確？ (A)adj(A) = 0 (B)rank(A) = 0 (C)det(A) = 0 (D)nullity(A) = 0

5 求出線性轉換的代表矩陣為：

(A) (B) (C) (D)

6 矩陣 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7 將 e⁵⁺²ⁱ化簡為 a+bi 形式的敘述（a,b 為常數），則化簡後結果為：

8 假設路徑 C 為一逆時針方向的單位圓之值為何？ (A) 2πi (B)πi (C) (D) − πi

9 函數 f (t)之拉氏轉換（Laplace transform）表示為 L{ f (t)}，若 L{ f (t )} = ，則 f (t)為何？ s − 3s + 2 其中 u(t)為單位步階（unit step）。

(A)

(B)

(C)

(D)

10 假設方程式的解是 y(t)=a+be^t+ce^−t ，其中 a,b,c 是常數，求a+b+c=？ (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

11 下列何者可做為微分方程式 2 + (6 x − e^{− 2 y} ) = 0 的積分因子（integration factor）？ (A)e²xy³ (B)x³e^2y (C)e^3y (D)e^3x

12 給定一個二維（2-dimension）微分方程式 x′(t ) = −2 y (t ), y′(t ) = x(t ) ，且滿足 x(0) = 2, y(0) = 0， 2 則下列選項何者正確？ (A) x(t ) = 2 cos t (B) x(t ) = 2 cos 2t (C) y(t ) = sin 2t (D) y (t ) = 2 sin 2t

13 下列何者是 ( x − 1) 2 y′′ − 4 xy′ + 4 y′ + 4 y = 0 的解？（選項中 c₁ 和 c₂ 為任意常數。）

(A) c₁ x ⁴ + c₂ x (B) c₁ ( x − 1)⁴ + c₂ ( x − 1) (C) c₁ x ² + c₂ x ² ln( x) (D) c₁ ( x − 1) ² + c₂ ( x − 1) ² ln( x − 1)

14 複變函數 f ( x + iy ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 x+iy 為可微分，則下列何條件必須滿足？

15 求符合偏微分方程式 u_xy – 4u_x = 0 的通解。

(A) c₁ ( x)e^{−4 y} + c₂ ( y ) ，其中 c₁,c₂ 為函數

(B) c₁ ( y )e ^{4 y} + c2 ( x) ，其中 c₁,c₂ 為函數

(D) c₁ ( y )e ^{−4 y} + c₂ ( x) ，其中 c₁,c₂ 為函數

16 求函數 F ( s) = 的逆拉式轉換（inverse Laplace transform）？

(A) 5 sinh 5t +cosh 5t (B) 5 cosh 5t + sinh 5t (C) 5 cos 5t + sin 5t (D) 5 sin 5t + cos 5t

17 已知 F ( s ) = ℑ{ f (t )}為 f (t)的傅立葉轉換（Fourier transform），f *(t)為 f (t)的共軛複數（complex conjugate），其中 s = jω，下列何者錯誤？ (A)f *(t)的傅立葉轉換為 F*(–s) (B)f *(–t)的傅立葉轉換為 F*(–s) 1 s (C)f (–t)的傅立葉轉換為 F(–s) (D)f (3t)的傅立葉轉換為