110年 - 110 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#102536

選擇題 (20)

1 2  2 實數矩陣 Q 的特徵值為 -2、-3。若定義矩陣跡（trace）為對角線元素相加，則 Q 的跡（trace）為何值？ (A) -5 (B) -3 (C) -2 (D)5

2 令 T 和 S 為 R³ 映射至 R² 的線性轉換（linear transformation），其中 T ( x, y, z ) = ( x - y, z + y) ， S ( x, y, z ) = ( x + z, x + y ) 。下列向量何者屬於 T + S 的零空間（nullspace）？ (A) (6, 2, -10) (B) (3, 2, -5) (C) (3, -2,5) (D) (-6, -2, -10)

3 給定矩陣。則矩陣的行列式值為何？ (A)-6(B)-0.75(C)0.25(D)0.75

4 考慮如下所示之過度限制（over-determined）線性聯立方程式：

如果這個聯立方程式的最小平方誤差解（least-squared-error solution）為 x=α, y=β，那麼在下列敘述之中，何者為正確？ (A)α > β (B)α2 > β (C)α+β > α∙β (D)3α+2β > 0

5 考慮一個作用在的線性轉換（linear transformation）T。已知 T(1, -1) = (3, 2) 、 T(1,1) = (1, -5) 。若是 S 表示 T 的反轉換（inverse transformation），而且 S(2, -7) = (p,q) ，那麼 p+q 與下列那一個數值最接近（也就是說差值的絕對值最小）？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

6 考慮如下所示之線性聯立方程式：

若是已知此聯立方程式無解，那麼在下列有關於 α 之敘述，何者正確？ (A)-∞ < α ≤ -5 (B)-5 < α ≤ 0 (C)0 < α ≤ 5 (D)5 < α < ∞

7 我們考慮一個矩陣：，若已知此矩陣為不可逆（not invertible），那麼請問 x 的數值為何？ (A)-3 (B)12 (C)2 3 (D)4

8 有一條三維空間中的曲線，曲線上的點的坐標(x,y,z)以參數式來表示為：x(t)=2sin(t)、y(t)=2cos(t)、 z(t)=5t 。請問此曲線在(0,2,0)到這個區間內的長度與下列那一個數值最接近（也就是說差值的絕對值最小）？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

9 如果，那麼下列有關於 x、y 之敘述，何者正確？ (A)x∙y < 0 (B)x+y < 0 (C) |x| < |y| （ |x| , |y| 分別代表 x 與 y 之絕對值） (D)x - y < x+y

10 令 i 為單位虛數，則 sin(π + i) 的實部（real part）為何？ (A)π (B)1 (C)-1 (D)0

11 若積分路徑 C 為逆時鐘方向且滿足 z = 1 ，則複變函數積分之值為何？ (A)πi (B) -π i (C) -2π i (D) -13π i

12 我們考慮複變函數 f(z)=z ² +1 (z=x+iy) 沿著曲線 Γ 作線積分（line integral），其中 Γ 代表在複數平面上由 y=x 2 來描述的曲線；我們的積分範圍是從 0+i0 到 1+i1。我們用 α+iβ 來代表這一個線積分的結果，此結果可以看成複數平面上的一個點。若是採用這個觀點，那麼 α+iβ 與下列複數平面上的四個點之中的那一個最接近（也就是距離最小）？ (A)0+i0 (B)1+i1 (C)1+i0 (D)0+i1

13 考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）：

y'' - x ² y' - 3xy = 0 ; y (0) = 1, y'(0) = -2

如果我們將解（solution）寫成冪級數（power series）型式：

那麼，下列選項何者正確？（可以試著套用函數的泰勒級數展開表示法（Taylor-series expansion）。） (A) a ₀ =2 (B)

(C)

(D)

14 假設 y(x)可以由下列微分方程來描述：

而且合乎初始條件： y(1) = -1 。請問 y(0)=？ (A) -2 或 -3 或 5 (B)2 (C) -4 或 -1 (D)3 或 4

15 下列選項之中，何者屬於線性（linear）微分方程式？ (A) (B) (C) (D)

16 給定微分方程式，初始值為 y(0) = 0 ， δ (t ) 為脈衝函數（impulse function）。則 dt y (t ) 的拉氏轉換（Laplace transform）為何？ (A) (B) (C) (D)

17 考慮微分方程式 y'' + 5 y' + 6 y = x ，初始值為 y(0) = A 和 y'(0) = B 。若其解為，則 A + B + C 為下列何值？ (A)2 (B) (C) (D)

18 有兩位桌球選手，根據以往的經驗，在每一局的比賽之中兩人的勝率比例為 6 比 4。如果他們進行一場五戰三勝的比賽（也就是搶先贏得三局的選手為整場比賽的勝利者），那麼請問這場比賽會剛好在打完第四局的時候分出勝負的機率為何？ (A) (B) (C) (D)

19 有兩個隨機變數 X 與 Y，我們以來代表其合併機率函數（joint probability function），且其值如下所示：、、、。請計算下列條件機率之值： Prob( Y=3 X=2)= ？ (A)0.25 (B)0.36 (C)0.60 (D)0.84

20 設 X 為一連續隨機變數（random variable），機率密度函數（probability density function）為常態分布（normal distribution），平均值為 45，標準差為 15。若欲將 X 轉換為 Y，其機率密度函數仍為常態分布，平均值為 65，標準差為 10。則 X 與 Y 的關係式為下列何者？(A) (B) (C) (D) Y = X + 20

申論題 (6)

一、求的通解（general solution）。

二、求，其中φ = t +i 2t ， 0≤ t ≤1。

三、一副標準 52 張的撲克牌，隨意抽出 3 張。求其為同花（3 張為同一花色）的機率。

(一)求其行列式值（determinant）。

(二)求特徵值（eigenvalues）與其對應的特徵向量（eigenvectors）。

(三)求 P，使為 A 之對角化（diagonalized）矩陣。

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申論題 (6)