112年 - 112 臺北市市立普通型暨技術型高級中等學校正式教師聯合甄選：數學科#113702

科目：教甄◆數學 | 年份：112年 | 選擇題數：4 | 申論題數：16

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (4)

1. 有一正立方體平放在桌面上，而四邊形 ABCD 是某一平面截此正立方體所得之圖形。若此正立方體的邊長為1，且 A、B 、C 三點到桌面的距離分別為，則D點到桌面的距離為下列哪一個選項？
(A)(B)(C)(D)

2. 已知方程式2xsin(πx)=1 ，且x∈[0,3]，則此方程式共有幾個解？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

3. 一疊撲克牌共10張，某種洗牌方式如下：洗完一次後，原第6張會變第1張，原第1 張變第2張，原第7張變第3張，原第2張變第4張，…依此類推；換句話說，就是原來的第1到10張，會依序移到第2, 4, 6, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9張。若用此種洗牌方式連續洗了2023次後，則第10張牌會是一開始的第幾張牌？ (A)第1張 (B)第4張 (C)第6張 (D)第9張

4. 實力相當的甲乙兩人打桌球，已知兩人不論發球或接球，成功進球的機率都是 p 。當一方發球進球，但是對方沒打進，算連續進球數1球；當一方發球進球對方成功打進球，但下一球沒有進球，算連續進球數2球，依此類推。若要求「連續進球數」的期望值大於等於10球，則 p 的最小值為下列哪一個選項？ (A) (B)(C)(D)

申論題 (16)

1. 建仔與伊森兩人欲測量教學大樓的高度，已知建仔的眼睛距離地面1.8公尺，伊森的眼睛距離地面1.6公尺，建仔在A處站立量測樓頂的仰角為α ，而伊森從 A處朝教學大樓方向直線前進45公尺後，站立量測樓頂的仰角為 β (假設一路上皆為水平路面，沒有坡度)。若tanα=，tanβ =，則教學大樓高度為___公尺。

2. 已知直線y=x和圖形y=恰有相異兩交點 P 、Q。假若原點坐標為O，且 P 點恰好為中點，則值為______。

3. 已知橢圓Γ的一頂點為(0,3)，F₁(−4,0 ) 、F₂(4,0) 為其焦點，若點 A(1,1)，P 為Γ上的動點，則的最大值為______。

4. 已知= (6,8) ，，其中0 ≤ θ ≤ π，則的最大值為______。

5. 已知空間一四面體 ABCD，其頂點坐標分別為 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,1)，則此四面體內切球球心的 x 坐標為______。 (答案不一定要有理化分母)

6. 設n為正整數，定義n的各位數的數字和為 f (n)，例如： f (2023)=2+0+2+3=7，f (135)=1+3+5+9，則滿足 f(n) + n= 2023 的所有正整數n的和為______。

7. ΔABC 中，，已知點 P 在ΔABC 內，且 P 至之距離分別為 x 、 y 、 z ，則3x²+y²+2yz+2z²的最小值為______。

8. X 為有限集合，定義函數f(X)為 X 內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，…，依此類推。

f ({3,6,10,1 })=10-6+3-1=6 , f ({3,6,10, 2,4})=10-6+4-3+2=7。若 A = {1,2,3, 4,...,112}，而 X 為 A中的非空子集則所有f(X)的和為______。

(1) 若阿宗將恆心S 的位置定為坐標原點(0,0)，對於阿宗而言第0天時行星 E 的坐標在(400,0)，衛星 M 的坐標在(401,0)。求第t天時，衛星 M 的坐標 (5分) 。

(2) 承上題，若∠SEM 在第0天時第一次等於180°，求下一次∠SEM=180°時是第幾天。(5分)

(1)求圖形Γ′的方程式。(6分)

(2)若圖形Γ′的方程式為Ax²+By²=1，其中 A , B 為常數，求 A , B 的值。(4分)

(1) 以a,b表示等腰梯形 ABCD的面積。(2分)

(2) 當等腰梯形 ABCD有最大面積時，求此時的a 值。(8分)

(1)求 P 點位置在哪裡時，使得的值最小。(5分)

(2)若 P 點不在直線 L 上，且，試證。(5分)