113年 - 113 北北基高級中等學校_學科能力測驗聯合模擬考試：數學 B#123763

1. 請問絕對值不等式 | x－1 |＞x 的解為何？(A) x＜(B) x＞(C) x＞1(D) x ≥ 1(E) x ≤ 1

2. 坐標平面上一圓 C：x²＋y²＝1 與一定點 P(2 , 0)，O 為原點。試問圓 C 上共有幾個點 M使得∠MPO＝20°？(A) 0 個(B) 1 個(C) 2 個(D) 3 個(E) 4 個

3. 下列五個選項中的三角形，請選出面積最大者。(A)(B)(C)(D)(E)

4. 一個容器內裝有細沙 30 立方公分，細沙從容器底下一個細小的孔慢慢流出，已知 t 分鐘後容器內剩餘的細沙量為 y 立方公分，可以用數學式 y＝30×a^－bt 表示，其中 a，b 為常數。若經過 8 分鐘後，發現容器內還剩餘一半的細沙，試問大約再過幾分鐘後，容器內的細沙只有開始時的五分之一？(A) 9.6 分鐘(B) 10.6 分鐘(C) 11.6 分鐘(D)15.6 分鐘(E) 18.6 分鐘

5. 坐標平面上 O 為原點，且 A(1 , 1)，B(－1 , 2)。令 Ω 為滿足的所有點 P所形成的區域，其中 1 ≤ α ≤ 3，1 ≤ β ≤ 2，則區域 Ω 可用下列哪一組不等式表示？(A)(B)(C)(D)(E)

6. 坐標平面上有兩個動點 A 與 B，一開始 A 的位置為 (0 , 0)，B 的位置為 (6 , 6)，接著 A 與 B根據每次投擲硬幣的結果來移動，規則如下：
若擲出正面，A 往右移動 1 單位，B 往左移動 1 單位；
若擲出反面，A 往上移動 1 單位，B 往下移動 1 單位。
今投擲一枚均勻硬幣，A，B 兩點均按投擲此硬幣之結果移動，試求兩點在坐標平面上相遇的機率為何？(A) 0(B)(C)(D)(E)

7. 將 1，2，3，4，5，6 這六個數字排成一個數字不重複的六位數 abcdef，若前三個數字形成的三位數 abc 與後三個數字形成的三位數 def，其相差不小於 200，則這樣的六位數 abcdef共有幾個？(例如：564321(564－321≥ 200)、156432(432－156≥ 200) 均為滿足要求的六位數)(A) 348 個(B) 360 個(C) 372 個(D) 384 個(E) 396 個

8. 設 x，y 為正整數，若 x 為八位數且最高位數字為 4；y 為六位數且最高位數字為 5，請選出正確的選項。(A)可以確定 x＋y 為八位數(B)可以確定 x＋y 的最高位數字為 4(C)可以確定 xy 為十三位數(D)可以確定 xy 的最高位數字為 2(E)可以確定的整數部分為三位數

9. 如右圖，邊長為 4 的正方形 PQRS 的中心為 O，以 O 為圓心，1 為半徑作圓 C，設 X 為圓 C 上的任意點，Y 為邊的任意點 (包括端點)。考慮向量，請選出正確的選項。

(A) || 的最小可能值為 2－1(B)的最大可能值為 12(C)的最小可能值為 0(D)若 ＝0，則 | | 的最小可能值為 1(E) ＝0，則 || 的最大可能值為

10. 已知數列 a，b，c，d 滿足前三項 a，b，c 成等差數列，後三項 b，c，d 成等比數列，且a，b，c，d 為四個相異非零實數，請選出正確的選項。(A)若 a＜c，則 b＜d(B)若 a＋b＋c＜0，則 d＜0(C)若 bcd＜0，則 a＞0(D) log | b |，log | c |，log | d | 一定是等差數列(E) sin a，sin b，sin c 可能是等比數列

11. 某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分，每部分各占 50分，總分為 100 分。右圖為 11 位學生兩部分得分的散布圖，其中 X 表示選擇題的得分，Y 表示非選擇題的得分，但因有2 位同學的兩部分得分均相同，所以散布圖僅有 10 個點 (有2 個點重疊)。已知此次測驗，11 位學生中有 5 人成績不及格(總分未達 60 分)，請選出正確敘述的選項。
(A) X 的中位數一定大於 Y 的中位數(B) X 的標準差一定大於 Y 的標準差(C) Y 對 X 的最適直線斜率一定大於 1(D)恰有 3 位學生的非選擇題得分低於 30 分(E)本次測驗 11 位學生中數學總分排名第 6 名的學生，其選擇題得分高於 35 分

12. 右圖的皇冠圖案，是由兩個全等三角形△BCD 與△BCE及一個等腰三角形△ABC，將共同邊重疊而成。已知 ＝1， ，∠BAC＝36°，∠DBC＝108°。設 F、G、H 分別為與的交點，請選出正確的選項。
(A)＝1(B) ＝sin 18°(C)＝4 sin218°(D)＝2 sin 18°(E)

18. 若 M 為的中點，試問圓形保護區的半徑為何？(單選題，3 分)(A) 20 公尺(B) 22 公尺(C) 24 公尺(D) 26 公尺(E) 28 公尺

13. 多項式(x⁵－3x⁴－2x³＋7x²－x－5)(x²－4x＋4)＋x³ 除以 x²－4x＋3 的餘式為 。

14. 某遊戲共有 60 位玩家參與，遊戲結束時，電腦程式會依據玩家於遊戲中的表現給予計分。已知程式設定 60 位玩家中有 10 位可獲得 2⁰ 分，9 位可獲得 2¹ 分，8 位可獲得 2² 分，以此類推，k 位玩家可獲得 2^10－k 分(1 ≤ k ≤ 10，k 為正整數)，其餘未獲得分數的玩家則以 0 分計算。試問遊戲結束時，系統給予這 60 位玩家得分的第 75 百分位數為分。

15. 經統計分析，某路段上的車流量 y (十輛／小時) 與車流密度 x (十輛／公里) 滿足關係式：y＝－10x²＋50x，其中 0 ≤ x ≤ 5。已知當車流密度 1 ≤ x ≤m 時 (m≤ 5)，車流量的最大值為625 輛／小時，最小值為 400 輛／小時，則 m 值的最大可能範圍為 。(化為最簡分數)

16. 將數線上區間 [0 , 1] 形成的線段 (如圖 (一)) 圍成一個圓，使兩端點 A，B 恰好重合 (如圖(二))，再將此圓放置於坐標平面上，使其圓心在 y 軸上，點 A 的坐標為 (0 , 1) (如圖 (三))。
已知區間 [0 , 1] 內一點 M，對應的實數為 ，圖 (三)中連接直線交 x 軸於 N 點，試求 N點坐標為(化為最簡根式)

17. 某遊樂園舉辦暑期票價優惠活動，每位入園的遊客從園方準備好的箱中 (箱中有大小相同的 3 顆紅球與 3 顆白球，共 6 顆球) 連續抽取 6 次，每次取一球，取後不放回，若抽取過程中紅球不連續出現，則可以半價購買門票入園；若抽取過程中連續出現 2 次紅球，則停止取球，但亦可以八折價格購買門票入園。已知遊樂園的原票價如右表，今小明一家四口欲購買兩張成人票、一張學生票及一張孩童票，則這四張票總價的期望值為元。

19. 試求新橋的長為多少公尺？(非選擇題，5 分)

20. 政府單位要求承包商的設計規劃中，再加入一個條件：
● 古橋兩端 O、A 到圓形保護區的邊界上任意點的距離，均不少於 15 公尺。
試問當長為多少公尺時，圓形保護區的面積有最大值？(非選擇題，7 分)