109年 - 108學年度臺中市立高級中學指定科目第一次複習考數學乙考科（命題範圍：第一冊～選修乙上冊）#96985

科目：高中(學測,指考)模擬考◆數學 | 年份：109年 | 選擇題數：7 | 申論題數：7

試卷資訊

所屬科目：高中(學測,指考)模擬考◆數學

選擇題 (7)

1. 已知 a、b 為整數，且| x − a| ≤ b 的整數解有 7 個，|x − b | ≤a 的整數解有 3 個，則 a + b 之值為何？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

2. 小奇、小傑、小酷、小雷、……等共 8 人參加獵人選拔。第一輪選拔方式為兩兩對戰，若小奇、小傑和小雷是朋友，第一輪彼此不對戰，小酷和小奇是上屆冠亞軍，也不在第一輪對戰。試問：第一輪選拔這 8 人對戰組合有幾種？ (A) 48 種 (B) 72 種 (C) 144 種 (D) 216 種 (E) 288 種

3. 在一箱子之中有大小相同的 9 顆球，上面分別寫上 100、 200、 300、 … 、 9 0 0 的號碼，且從各個方向都不能看到箱子的內部。現在甲、乙兩人進行一項遊戲，首先兩人先進行猜拳（剪刀、石頭、布）來決定抽球的次序，贏的人先抽球。兩人依輸贏順序各抽一球，抽出球後不放回，且先抽球的人可以得到抽出球上號碼 3 倍的獎金，後抽球的人可以得到抽出球上號碼 2 倍的獎金，若每顆球被抽到的機率相同，則進行遊戲一次，甲所得獎金之期望值應為多少元？ (A) 500 元 (B) 750 元 (C) 1000 元 (D) 1250 元 (E) 2500 元

複選題
4. 已知 f(x)=x³+ax²+bx+c，其中 a，b，c 為實數，則下列敘述哪些正確？ (A) 若 x² f( x )除以(x −1) 餘 3，則 f(x)除以( x −1) 亦餘 3 (B) 若 f (2019)=f (2020)=f (2021) =1 ，則 f (2022)= 1 (C) 若c ＜ 0 ，則 f (x ) =0 必有正實根 (D) 若 f (x) =0 有兩正實根和一負實根，則 f( x²) =0 有四個實根 (E) 若 f (2) =0 ，且 c 為整數，則 c 必為 2 的倍數

複選題

5. 已知則下列敘述哪些正確？ (A) ab ＞ 5 (B) (C) log_ab ＜ log _ba (D) 是 30 位數 (E) 是 11 的倍數

複選題
6. 在某一次數學小考之中，由於全班的平均成績在 58 分和 60 分之間，因此老師決定微調同學們的成績，希望調整後的平均成績能達到 60 分。其做法為：將每位同學的成績無條件進入到十位數，例如 57 分調整為 60 分，81 分調整為 90 分﹔而原本個位數己經為 0 的成績則不變動。若已知有部分同學成績的個位數不為 0，則下列哪些敘述一定是正確的？ (A) 調整之後的平均成績比原來的平均成績高 (B) 調整之後的平均成績在 60 分以上 (C) 調整之後的全距比原來的全距大 (D) 調整之後的標準差比原來的標準差大 (E) 設每位同學的原成績為 x 調整之後的成績為 y，若對每一組(x, y)，以最小平方法求它們的最適合直線，則此直線的斜率為正數

複選題

7. 設直角三角形 ABC 中，∠A = 90°，D、E 是斜邊上的兩相異點，且。若，則下列敘述哪些是正確的？ (A)x²+y²= 64 (B) △ABC 面積的最大值為 32 (C) 無論 x、y 的值為何，的長度都固定 (D) 設中點為 M，則＞ −32 (E) △ABC 周長的最大值為

申論題 (7)

A. 已知二次函數 f(x)的二次項係數為正。若 f (1)=f (-3) =6 ，且 f (x ) ≤ 0 的解為 −2 ≤ x ≤ k ，則 k 之值為 _________。

B. 小李每天搭公車上、下班，往返的公車有紅線、綠線共兩條路線可以選擇。若小李每一週上班六天，星期日休息，每天上班隨機由紅線、綠線之中選一條路線乘車，且上、下班搭同一路線的公車回家。則在小李一週的上班日之中，恰好只有一次連續兩天搭乘同一路線公車的機率為________ 。（例如：「紅紅綠紅綠紅」符合題意，而「紅紅綠紅綠綠」則不符合題意）（化為最簡分數）

C. 坐標平面上有四條直線 L₁: 6x + 7 y= 13、 L₂ : 6x+ 7y =-19、 L₃: 9x- 2y=5 、 L₄:9x-2y=k (其中k ＞ 0 )。若在坐標平面上有一點 P 與這四條直線的距離都相同，則 k 的值為 _________。

(1) 試求此轉移矩陣 A。(6 分)

(2) 承(1)，小湘認為：不論剛開始市民高所得和低所得的人口組成為何，長時間下來高所得人口必為低所得人口的 3 倍。請問小湘的看法合理嗎？請說明理由。(6 分)

(1) 請寫出 x、y 的所有限制條件，並作出圖形。 (8 分)

(2) x、y 的值應各為多少，才能使得獲利為最大？且最大獲利為多少元？ (6 分)