113年 - 113 教育部受託辦理公立高級中等學校教師甄選試題：數學科#121953

1. 在△ABC 中 a, b, c 分別為角 A, B, C 的對邊，向量= (b, 3a-c), = (cosB, cosC), 且, 求 cos B = ? (A) (B) (C) (D)

2. 若，求 f(log₄(log₅4)) + f(log₄(log₄5)) = ?(A)5 (B)√2(C) 1(D) 0

3. 任意的選取兩個正整數 a, b 且 1 ≤ a, b ≤ 9。試問點 (a, b) 落在拋物線 y = ax² - bx 上方的機率為何？ (A) (B) (C) (D)

5. 設 f(x) = x + 3 + , g(x) = 2x - 9 + , 試求 f(3) = ? (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

6. 已知△ABC 的三邊長為 a, b, c, 且是方程式 x² - 2x + sinC + cosC = 0 的一根，△ABC 是哪一種三角形？ (A) 銳角三角形 (B) 正三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 等腰直角三角形

7. 在某教師甄試中規定 N 位參加筆試者，可進入複試的人數為。已知進入複試的人數為 19 位，試問最小的兩個可能 N 值之和為何? ([x] 代表不大於 x 的最大整數) (A) 38 (B) 90 (C) 154 (D) 406

8. 如圖，雙曲線中，過焦點 F 作一焦弦，已知的斜率為 1，則= ? (A) 32 (B) 36 (C) 40 (D) 48

10. 在實數線上，動點 A 從原點開始往正向移動，動點 B 從 8 的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒 A、B 移動的距離分別為 1、4，且 A、B 每次移動的距離分別為其前一次移動距離的 倍、倍。令 Cn 為第 n 秒時 A、B 的中點位置。試選出正確的選項。 (A) (B) C₂＞C₁  (C) 數列是一個等比數列 (D)= 2

11. 投擲一枚不均勻硬幣，出現正面的機率為，出現反面的機率為。今丟擲此硬幣 5 次，若 X 表示出現正面的次數，則下列敘述何者正確？ (A) X = 1 的機率為 (B) X = 2 的機率小於 X = 3 的機率 (C) X 的期望值為 (D) X 的標準差為

12. 已知 C₁: (x-1)² + y² ≤ 1, C₂: x² + (y-1)² ≤ 1, 試選出正確的選項。 (A) C₁ 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積為 π² 立方單位 (B) C₁ 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積為立方單位 (C) C₂ 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積為 π² 立方單位 (D) C₂ 繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積為 2π² 立方單位

一、填充題
1. 設 f(x) = x² - 16, 若 P =為 [1, 3] 的 n 等分割, n ∈ N, 且知黎曼下和 Ln, 且知黎曼上和 Un, 若| Un - Ln |＜ , 試求最小之自然數 n?

2. θ 為某一角度，方程組，的解為, 試求的解 (x, y)。

3. O 為△ABC 的外心，若，則 sin∠BAC = ? 

4. 已知 a ＞ b ＞ 0, a, b, c 為整數，且 f(x) = x⁶ + ax² + bx + c, , 試求 a, b, c 之值。

5. 自 P₁(1, 0) 作 x 軸的垂直線交拋物線 y = x² 於 Q₁(1, 1), 再由 Q₁ 作此拋物線的切線交 x 軸於 P₂, 又自 P₂ 作 x 軸的垂線交此拋物線於 Q₂, 如此依序進行，試求級數 之和。

6. 有一個 n 項的等差數列, 若公差為且此數列的變異數為 260, 試問項數 n = ?

7. 如下圖，圓內接四邊形 ABCD 中，, ∠ABD = 60°, 設相交於 P 點，求△BCP 面積。

二、計算證明題
1. n 筆數據, 1 ≤ i ≤ n, 若 n 筆數據的相關係數存在並記為 r, 試用高中數學的方法證明 |r| ≤ 1。

2. 請利用 108 課綱高一學生可以理解的方法證明: 已知點 P(x₀, y₀), 直線 L: ax + by + c = 0, 則 P 到 L 的距離為

3. 令為方程式的 18 個根，求 的值為何?