114年 - 114 財團法人大學入學考試中心基金會_學科能力測驗試題：數學Ｂ#125190

1. 設數線上有一點 P 滿足 P 到 1 的距離加上 P 到 4 的距離等於 4。試問這樣的 P 有幾個？(A) 0 個 (B) 1 個 (C) 2 個 (D) 3 個 (E) 無限多個

2. 設 A 為3✖2階矩陣，且 ，試問 a+b+c之值為何 ？ (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 8

3. 已知實數 ab, 滿足<a<1及1<b<2。試問下列哪個選項的值最小？ (A) 0 (B) log a (C) log( a²)  (D) logb (E)

4. 某商店推出抽獎活動，提供香蕉、鳳梨、蘋果、橘子四種不同款式的水果公仔當獎品。 每次抽獎可得 1 個公仔，且每種款式被抽中的機率皆相等。某甲決定抽獎四次，試問他恰抽到三種不同款式公仔的機率為何？ (A) (B)(C)(D) (E)

5. 空間中有兩相交直線 L,M，其夾角為24°。將 M 繞著 L 轉一圈，可得一個直圓錐面。 今有平面 E 與直線 L 平行，試問平面E 與此直圓錐面的截痕是下列哪一個選項？ (A) 雙曲線 (B) 拋物線 (C) 橢圓(長短軸不相等) (D) 圓 (E) 兩相交直線

6. 設 a,b,c 為 實數 ，且 多項式 f (x)= a(x-1)( x-3)+b(x-1)( x-4)+c(x-3)( x-4) 經化簡後，得f(x)=x²。 有關 a,b,c 的 大小關係 ， 試選出正確的選項 。 (A) a>b>c  (B) a> c>b (C) b>c>a (D) c>a>b(E) c>b>a

7. 某人使用單點透視法，以地平線上一點為消失點，將地平面上的六根鉛直柱子 A,B,C,D, E,F畫在坐標平面上，各柱柱頂與柱底的坐標如下表，並且讓點 V(4,9)代表消失點，如圖所示。
因圖形中 A、F 兩柱的柱底連線與柱頂連線均平行於地平線，故 A、F 兩柱的實際高度相等。根據上述，試選出實際高度最大的柱子。
(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E

8. 設Γ 為坐標平面上函數y=x³-x的圖形。試選出正確的選項。 (A) Γ 的對稱中心為原點 (B)Γ在 x = 0 附近會近似於直線 y=x(C) Γ 經適當平移後可與函數y=x³+x+3 的圖形重合 (D)Γ與函數y=x³+x的圖形對稱於 x 軸 (E)Γ與函數y=-x³+x的圖形對稱於 y 軸

9. 坐標平面上設 O 為原點，且 P 點坐標為 (2,2) 。已知向量，其中實數 α,β滿足0≤a≤1， 0≤β≤1 。下列選項中，試選出可能的 A 、 B點坐標。 (A) A(2,−3) 、 B(−4,3) (B) A(3,2) 、 B(3,4) (C) A(3,4) 、 B(4,−1)(D) A(1,2) 、B(2,1) (E) A(1,−1) 、 B(1,1)

10. 某羽球選手與甲、乙、丙、丁四位選手各比賽一場。賽後蒐集這四場比賽的數據，統計該選手的對手在比賽中殺球的總次數，以及每次殺球用時的平均及標準差，結果如下表所示。例如對手甲在該場殺球次數為 25 次、每次殺球用時平均 1.2 秒，每次殺球用時標準差 0.5 秒。根據上述，對於甲、乙、丙、丁四位選手的表現，試選出正確的選項。 (A) 丙在該場中每次殺球用時平均是四位中最多的 (B) 丁在該場中花在殺球的總用時是四位中最多的 (C) 甲在該場中每次殺球的用時都與丁相同 (D) 甲在該場中每次殺球用時的全距，大於丁在該場中每次殺球用時的全距 (E) 乙在該場中各次殺球的用時不可能都在 1.4 到 1.6 秒之間

11. 設地球是一個球體。地球表面上五個點 A、B、C、D、E 的經緯度如下表，例如 A 點位在經度 0 度，北緯 60 度。

大圓為通過球心的平面與球面相交所形成的圓，且球面上相異兩點在大圓上所形成較小的弧為最短路徑。根據上述，試選出正確的選項。(A)「北極點到A的最短路徑長」等於「北極點到B的最短路徑長」(B)「A到B的最短路徑長」等於「C到D的最短路徑長」(C)A到E的最短路徑必經過C(D)C到D的最短路徑必經過北極點(E)「E到北極點的最短路徑長」與「C到D的最短路徑長」的比為2：3

12. 已知某等差數列的首項是 1，末項是 81，且 9 也在此數列中。設此數列的項數為 n， 其中 n ≤100 。試選出正確的選項。 (A) n 為奇數 (B) 41 必在此等差數列 (C) 滿足條件的等差數列，其公差都是整數 (D) 滿足條件的等差數列共有 10 個 (E) 若 n 為 7 的倍數，則 n = 21

18. 已知 UVI 數值與所在高度呈指數關係：高度每上升 300 公尺，其 UVI 數值增加上升前的 4%。在地平面上接收到太陽發出每平方公尺 400 焦耳的紫外線，則到了離地平面 4500 公尺高的山上，接收到紫外線的 UVI 數值為下列哪一個選項？ (A)4 (1+0.04✕15) (B)4 (1+0.04¹⁵ ) (C)4 (1+0.04)¹⁵(D) 4✕100 (1+0.04)¹⁵ (E)4✕100 (1+0.04⁴⁵ ) 

13. 某景點旁邊有兩個停車場，假設某日任一停車場沒有空位的機率皆為 0.7，且這兩個停車場是否有空位互不影響。若一輛車子在當天來到這兩個停車場外面，則至少有一個停車場內有空位的機率為。

14. 坐標平面上，給定三點 A(0,2)、 B( 1,0) − 、C(4,0) 。若直線 y=mx將三角形 ABC 分成面積相等的兩部分，則 m = 。(化為最簡分數)

15. 某公司聘請 8 名新進員工，其中含 2 名翻譯、3 名工程師與 3 名助理。將此 8 人分派給研發、測試兩個部門，其中每個部門各分派 4 人，且各需含 1 名翻譯與至少 1 名工程師。依此共有種分配方法。

16. 教室的某牆角是由牆面和地面兩兩互相垂直所構成。 設牆角為點 O，現有一個三角形擋板 ABC，其中頂點 A、B、C 位在牆面間或牆面與地面間的交界線上， 並與牆角 O 的距離分別為 20、20、10 公分；、三邊與牆面或地面貼合，如圖所示 。 則 tan∠ CAB=。(化為最簡根式)

17.某液晶面板由紅、綠、藍三種顏色的LED燈泡組成。已知各色燈泡亮燈的循環規律如下：
紅色：「亮3秒，再暗1秒，再亮2秒」
綠色：「亮6秒，再暗2秒」
藍色：「亮k秒，再暗(15)−k秒」，其中k為正整數。
若在某時刻三種顏色的燈泡同時各自開始作上述循環，面板上都一直有燈亮著，並設各燈泡亮、暗切換的時間極短可被忽略，則k的最小值為。

19.已知某日某地的日照時數(日出到日落)恰為12小時，且該地當天日出後x小時(0≤x≤12)的UVI數值，可用函數f(x)=a sin(bx)來表示，其中a,b>0。假設日照時UVI數值為正，非日照時UVI數值為0(即f(0)=f(12)=0)，且當天日出後2小時的UVI數值為4。試求a、b之值。

20. 承 19 題，今某人要在該日 UVI 數值介於之間(含)時做日光浴。將他可以 做日光浴的時間設為日出後 t 小時，試求 t 的最大可能範圍。(非選擇題，6 分)