113年 - 113 北北基高級中等學校_學科能力測驗聯合模擬考試：數學#123743

1. 聲音大小 d (單位：分貝) 取決於聲波通過介質時，所產生的強度 I (單位：W∕m²)。已知當測得聲音強度為 I 時，此時分貝 d＝10 log ，若有一臺噴射機起飛時測得的聲音大小為 100 分貝，則該噴射機起飛時所產生的聲音強度為多少 W∕m²？(A) 0.001(B) 0.01(C) 0.1(D) 1(E) 10

2. 已知多項式 f(x)＝(mx³－3x²＋nx－1)⁴ 除以 (x－1) 之餘式為 2，其中 m、n 皆為實數，若將此多項式展開後，其奇次項係數和為 a，偶次項係數和為 b，則 a＋b＝？(A)－1(B)－2(C) 1(D) 2(E) 3

3. 臺北市某區的所有 Ubike 自行車租賃站，依據過去的統計紀錄，平均會在一天當中的 14 時20 分至 14 時 35 分，累積租借次數與時間之相關係數會趨近於 0.99，部分紀錄如下表 (24小時制)。
依據上述資訊推測，試問某日在 14 時 33 分時，累積租借次數應較接近下列哪一個選項？(A) 2530 次(B) 2550 次(C) 2570 次(D) 2590 次(E) 2620 次

4. 坐標平面上有三個相異的點 A(3 , 0)，B(－3 , 0)，C(3 cos θ , 3 sin θ)，其中 0 ≤ θ ≤ 2π，則滿足△ABC 的面積為 7 的 θ 有幾個？(A) 0 個(B) 1 個(C) 2 個(D) 3 個(E) 4 個

5. 已知函數 f(x)＝，且 x＞0，則下列選項中哪一個函數值為最大？(A)(B)(C)f(1 )(D)(E) f (2 )

6. 若將一顆公正的六面骰子投擲 5 回，假設 a_i 為第 i 回出現的點數，其中 i＝1，2，3，4，5，試問 a₁²＋a₂²＋a₃²＋a₄²＋a₅² 為 3 的倍數之機率為何？(A) 0(B)(C)(D)(E)

7. 設 m 為實數，坐標平面上三條相異的直線 L₁：2x＋y＝5，L₂：x－y＝－2，L₃：2x＋my＝8，將平面分割成 6 個區域，則 m值可能為下列何者？(A)－2 (B)－1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

8. 已知在△ABC 中，若△ABC 之內切圓分別切三邊於 A₁、B₁、C₁ 三點，其中∠B₁A₁C₁＝θ₁，如圖(一)，而圖(一)中△A₁B₁C₁ 之內切圓分別切三邊於A₂、B₂、C₂三點，其中∠B₂A₂C₂＝θ₂，如圖(二)，依此規則連續下去，可得一數列〈θ_n〉，其中 n 為正整數，則下列選項哪些正確？

(A) θ₁＋2θ₂＝180°(B)〈θ_n〉為一個等差數列(C)數列〈θ_n〉的遞迴式為，其中n≥2(D)對於所有的正整數 n，sin θ_n＋1＝cos恆成立(E)當 θ₁＝60°，則〈θ_n〉既為等差數列也為等比數列

9. 某校調查了甲、乙兩班之數學 (單位：分) 與英文 (單位：級分) 的段考成績，計算甲、乙兩班數學成績的算術平均數分別為 μ_甲＝54 分、μ_乙＝65 分，標準差分別為 σ _甲＝12 分、σ _乙＝15 分。令甲、乙兩班英文成績的算術平均數分別為 μ_甲'、μ_乙'。若甲、乙兩班其英文成績 ( y) 對數學成績 (x) 的最適直線 (迴歸直線) 分別為 L_甲：y＝0.05x＋4、L_乙：y＝0.08x－1，相關係數分別為 0.6、0.3。今甲班中有一位大雄同學，本次段考數學成績為 52 分、英文成績為 6 級分，試選出正確的選項。(A)點 ( μ_甲 , μ_甲') 必在最適直線 (迴歸直線) L_甲 上(B) μ_甲'＜μ_乙'(C)甲班英文成績的標準差小於乙班英文的標準差(D)就英文成績而言，甲班的全距小於乙班的全距(E) 大雄同學在本次段考中，其英文的表現比數學的表現好

10. 坐標平面上有一以原點 O(0 , 0) 為圓心且半徑為 r 的圓 C，交直線 L：x＋y－1＝0 於 P、Q 兩點。已知圓 C 上有一點 R 使得△PQR 為正三角形。請選出正確的選項。(A) R 點會在的中垂線上(B)若 R 點的極坐標為 [r , θ] 時，則 θ＝225°(C)圓 C 的方程式為 x²＋y²＝4(D)直線 x＋y－2＝0 為圓 C 在 R 點的切線(E)圓 C 上恰有三個點與直線 L 的距離等於

11. 某大學部有一間實驗室，學生為了要研究掃地機器人路徑規劃之成效，將掃地機器人設定為每分鐘直線行走 1 公尺，接著將地面坐標化 (1 公尺為 1 單位)，並將其放置在坐標平面上，由原點 O(0 , 0) 出發。首先沿著 x 軸正向 (即正東) 的方向行走 1 分鐘到達點 (1 , 0)，然後立即轉向 y 軸正向 (即正北)的方向，再行走 2 分鐘到達點 (1 , 2)，然後，再轉向正西方向行走 4 分鐘到達點 (－3 , 2)，再轉向正南方向行走 8 分鐘到達點 (－3 ,－6)，而後依照正東→正北→正西→正南的方向直線移動，且每次行走的時間是前一次的 2 倍，等速且不考慮轉彎時間，依此規則一直行走下去，如右圖所示。假設早上 8 點開始實驗，由原點 O(0 , 0)出發，關於下列選項中有哪些是正確的？

(A)早上 8 點 5 分時，掃地機器人的位置在點 (－1 , 2)(B)早上 8 點 31 分時，掃地機器人共行走了 31 公尺(C)早上 9 點 5 分時，掃地機器人的位置在 x 軸的下方(D)已知掃地機器人共行走了 511 公尺，則它共轉向 6 次(E)承 ( D )，此時它的位置在點 (205 , 102)

12. 已知有一實係數多項式 f(x)＝x³＋ax²＋bx，請依據各條件選出正確的選項。(A)若 b≠0，則 y＝f(x) 的圖形對稱於原點 (0 , 0)(B)若 a＞4 且 b＝4，則 y＝f(x) 的圖形與 x 軸有三個交點(C)若 a＜4 且 b＝4，則 y＝f(x) 的圖形與 x 軸只有一個交點(D)若考慮多項式 g(x)＝f(x)－15 且其圖形對稱於點 (3 , 0)，則 y＝g(x) 在 x＝3 附近的一次近似為 y＝－4x＋12(E)承 ( D )的條件，則滿足 g(x) ≥ 0 之最小的整數解為 3

13. 若實數 a 滿足 1＜| a－1 | ≤ 2 且 | x－a |＝3| x－7 |，則實數 x 的最大值為。

14. 這次過年的時候， 小睿的爸爸準備了「懷舊童玩戳洞樂」遊戲，讓全家都能一起同樂，此遊戲為一個 5×5 格大小的裝置，共計 25 個洞可戳，一次只能戳一個洞，且每個洞被戳中的機會相同，其中只有一個洞是獎金 1000 元，有八個洞是獎金 100 元，其餘都是 “銘謝惠顧”，没有獎金。目前已經有 5 個洞被戳了，小睿的爸爸只保證最大獎 1000 元還沒有被戳中。試問小睿玩這一次遊戲所獲得獎金期望值之最小值為元。

15. 若有一個三角形 ABC，其三邊長，設此△ABC 的內部有一點P 與三頂點等距，則此距離為。(化為最簡分數、最簡根式)

16. 如右圖為 阿綺家中大門的密碼鎖，其按鍵的第一行數字為 1、4、7，第二行為 2、5、8、0，第三行為 3、6、9，設置密碼方式為：「由 0～9 的數字中，任選 6 個並依序鍵入」。今阿綺為了方便記憶自己的密碼，以她的生日民國 96 年 10 月 27 日的六個數字 9、6、1、0、2、7 重新編排成密碼，但為了要使密碼的保密度提高，規定位於按鍵同一行的數字不可接連出現，例如：「107629」為一組可用的密碼，但「172609」則不符合規定，試問阿綺共有種密碼設置法

17. 設 f(x) 與 g(x) 皆為實係數二次多項式且首項係數都是 1，已知 ( f(x))² 除以 g(x) 的餘式為2x＋1，而 (g(x))² 除以 f(x) 的餘式為 x＋1，則 f(x)＋g(x)＝。

18. 若 α 與 β 分別滿足－1 ≤ α ≤ 0、1 ≤ β ≤ 2，則下列選項何者正確？(單選題，5 分)(A)＝b(B)＜b(C)＞b(D)≤ b(E)≥ b

19. 承第 18 題，則 a 與 b 滿足下列哪一個選項的二元一次不等式？(多選題，5 分)
(A) a＋b ≥－1
(B) b ≤ 0
(C) a－b ≥ 1
(D) 4＋2a＋b ≤ 0
(E) 4－2a＋b ≥ 0

20. 承第 18、19 題，若 a²＋b² 的最小值為 k，則序組 (a , b , k)＝？(非選擇題，5 分)