115年 - 115 財團法人大學入學考試中心基金會_學科能力測驗試題：數學B#137079

1. 當標準值為 95，試選出有幾個整數 N 與標準值的誤差百分比✖100%小於 5%。(A) 4 個 (B) 5 個 (C) 8 個 (D) 9 個 (E) 10 個

2. 以計算機的自然對數按鍵 ln(即 lnx= log _e x x )估算連續複利本利和所需期數 n， 試選出等於 n的選項。 (A) (B) (C) (D) (E)

3. 已知實數二階方陣 A 滿足 。試選出 A的反方陣。(A) (B) (C) (D)
(E)

4. 電腦程式模擬在太平洋等速航行的甲、乙兩艘船。甲船沿著北緯 60 度向西航行，乙船沿著赤道向東航行。在某一時間點甲船在西經 169 度、乙船在東經 140 度，試選出 當甲船到達東經 171 度時，乙船在東經幾度。 (A) 120 度 (B) 130 度 (C) 150 度 (D) 160 度 (E) 180 度

5. 某人購買公益彩券，第一次以 N 元為投注金額。之後每次要投注時，先將前次投注金額增加一半設為預定金額。如果預定金額大於 2N 元，則將預定金額減少一半投注；否則就以預定金額投注。前四次投注紀錄如下表：

試選出此人第七次的投注金額為多少元。 (A) (B) (C) (D) (E)

6. 各國沿岸的「領海基線」其外側距離基線十二浬間之海域，為該國之「領海」。在以浬為單位的坐標平面上，某國有一部分的領海基線為直線 Lx y : 4x+3y-12=0上的某一線段，且 (5,5) 位於該領海基線的內側，如圖所示。試選出該段領海在 L 與下列哪一條直線之間。 (A) (B) (C) (D) (E)

7. 有 A、B、C 三種福袋各一個，其中 A、B、C 中獎的機率分別為，且不同福袋中獎與否互不影響。設在福袋 A 中獎的條件下，至少有兩個福袋中獎的機率為 p，且設在至少有兩個福袋中獎的條件下，福袋 A 中獎的機率為 q 。試選出之值。(A) (B) (C) 1 (D) (E)

8. 試選出與函數在每個實數 x所得函數值皆相同的函數。 (A) (B) (C) (D)(E)

9. 設 f (x)=(1-x)(2-x)²(4+x) 。試選出正確的選項。(A) f (x ) 除以 (1- x)(2- x )(4+x) 的餘式為-x+2(B) 若將 f (x) 表為a (x-2)⁴+b(x-2)³+c(x-2) ²，則 c = -6(C) f(x) >0的解區間為 ( -4,2) (D)(E)f(2026)>f(- 2022)

10. 某研究探討昆蟲的身長與其體內兩種養分 A、B 濃度的關係。研究中蒐集某種昆蟲，測得牠們身長與體內 A 濃度的數據如下表。

已知每隻昆蟲體內的 B 濃度均為 A 濃度的 0.5 倍。試選出正確的選項。(A) B 濃度的標準差為單位(B) 若身長的中位數為 65 單位，則 B 濃度的中位數為 25 單位(C) B 濃度與 A 濃度的相關係數為 0.5(D) 若找到一身長為 65 單位的昆蟲，利用 A 濃度對身長的迴歸直線(最適直線)預測，其體內 A 濃度為 50 單位
(E) B 濃度(Y)對身長(X)的迴歸直線斜率為

11. 有一立燈為了採光，採用兩個可以替換的大、小燈罩。兩燈罩皆為直圓錐面的一部分， 裝在燈上其軸線位置相同、燈源皆在頂點，且大燈罩照射在地面上的光線範圍大於小燈罩 的光線範圍，如圖所示。令大、小燈罩在地面上所成的光線邊緣分別為圓錐曲線 Γ、 γ的一部分。試選出正確的選項。
(A) 如果Γ是橢圓，則 γ是拋物線 (B) 如果Γ是拋物線，則γ是橢圓 (C) 如果Γ是雙曲線，則 γ是拋物線 (D) 如果γ是拋物線，則Γ 是拋物線 (E) 如果γ是雙曲線，則 Γ是雙曲線

12. 有兩容器，A 瓶內有含糖 100 公克的紅茶 1000 毫升，B 瓶內有不含糖的紅茶 500 毫升。用以下方式稀釋 A 瓶的甜度：將 A 瓶混合均勻後，倒出 500 毫升至 B 瓶，再將 B 瓶 混合均勻後，倒 500 毫升回 A 瓶，稱此為一次稀釋。重複此稀釋動作，令第 n次稀釋 完，A 瓶的含糖量為 a_n 公克。試選出正確的選項。 (A) a₁= 75 (B) 第 n次稀釋完，B 瓶的含糖量為公克 (C) (D) 可找到實數 c 滿足數列 〈a_n-c〉為公比是的等比數列 (E) 第 100 次稀釋完，A 瓶的含糖量小於 60 公克 

18. 試選出甲星軌跡的起點與終點連線線段的中垂線方程式。(單選題，3 分)(A) x = 4 (B) y =4 (C) y= x- 4(D) y=- x+ 4 (E) y=4x 

13. 坐標平面上，L₁為通過原點 O 且斜角為 75的直線；L₂為通過點 ( -20,0)  且斜角為30°的直線， 如圖所示。則 L₁、 L₂的交點到原點的距離為 。(四捨五入至整數)
 

14. 將 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 七個數字排成一個七位數。若要求排出的數字 3, 4 相鄰、5, 6 相鄰以及 6, 7 相鄰，則共可排出 個七位數。

15. 某校健康檢查：全體學生中有近視的占、有蛀牙的占。設 p 為全體學生中無近視且 無蛀牙的學生所占比例。將部分資料依所占比例以列聯表呈現如下：

已知有近視的學生中，有蛀牙的占少數；有蛀牙的學生中，有近視的占多數。則 p 的 範圍為。(化為最簡分數)

16. 坐標平面上， L 為一次函數 y =f(x) 的圖形，Γ為二次函數 y= g(x)的圖形。已知 L 與 Γ交於 (1,0) 、(5,4) 兩點，且點 (2,2) 在Γ上。則 g(x)-(fx)  的最大值為。(化為最簡分數)

17. 利用單點透視法將坐標空間的點繪製在畫布的坐標平面上。已知
(一)空間中與 y 軸平行的直線，在畫布上的消失點為 (0,15)
(二)空間中與 z 軸平行的直線，在畫布上都與 y 軸平行
若點 (0,0,0) 、 (3,4,0) 、 (3,0,3) 繪在畫布上分別為 (0,0) 、 ( )、 (3,3) ，則點 (3,4,3)繪在畫布上的 y 坐標為
。(化為最簡分數)

(註：右圖為三點 (3,4,0) 、 (3,0,3) 、 (3,4,3) 於坐標空間的位置關係)

19. 令 L 為通過點 (8,0) 且斜率為 1 的直線。試說明點 P 在 L 上，並求甲星軌跡所在的 圓方程式。(非選擇題，6 分)

20. 已知照片中乙星軌跡的起點 Q 坐標為 (2,8)。令 R 為其軌跡終點，試求以及點 R 的坐標。 (非選擇題，6 分)