114年 - 114 高雄市市立高級中等學校聯合教師甄選試題：數學科#127342

一、計算證明題

請寫下完整計算過程，否則不予計分

1、設 m 與 n 均為正實數，且滿足 log₉ m=，試問之值為 ________

2、有 5 筆二維數據 ( x₁, y₁ ) 、( x₂, y2 ) 、…、( x₅, y₅ ) 。已知的統計資料如下：

x₁+x₂+...+x₅=15 ，y₁+y₂+...+y₅=10

x₁²+x₂²+...+x₅²=102，y₁²+y₂²+...+y₅²=40

若小高在求 y 對 x 的迴歸直線方程式 y mx b = + 時，誤將迴歸直線的斜率公式記為 ，其中為數據 X、Y 的算術平 均數。在其他的計算均無錯誤下，小高計算出的迴歸直線方程式為。試問針對這 5 筆數據求 y 對 x 的迴歸直線方程式，正確的斜率 m 應該為________

3、△ABC 中，若 = 9， =15 ，∠ABC = 3∠ACB，則邊的長為多少?

4、設集合 I = {1,2,3,4,5}，選擇 I 的兩個非空子集合 A、B，使得 B 集合中的最 小的數字大於A集合中最大的數字，則集合A、B有幾種不同的取法？________

5、3 顆蘋果，4 顆梨子，5 顆李子分給 3 個兒子，每人至少得一個， 有 種分法

6、已知兩互相垂直的平面向量，，當0 ≤ t ≤ 1時，向量與向量的最大夾角為θ，則cosθ的值為何? ________

7、設兩複數z₁與z₂滿足|z₁ | = |z₁ + z₂ | = 3，|z₁ − z₂ | = 3√3，則的值為何? ________

8、設空間中兩點A(−4,2,5),B(5,5, −1)，與直線 。在 L 上 找一點 P，試求最小值為_____

9、已知A(1,0,0),B(0,2,0), C(0,0,3)，O 為原點，若四面體 OABC 之體積被平面所平分，試求實數 k 為_____

10、假設以cos 9°為一根的最小次數整係數方程式為 f(x)=0，求 f(x) =_____

11、已知f(x)為定義在實數上的奇函數，f(1) = 1，且對於任意x ＜ 0均有，求的值? ________

12、已知函數 ，其中 ≤ x ≤ ， 試求f(x)的最小值_____

13、已知  a₁ =1，  a₂ =−1 且，試證明為完全平方數_____

14、如圖(一)，在四邊形 ABCD 中，已知， = √2 ， 。今將四邊形 ABCD 沿對角線折成四面體 A′ − BCD， 使∠A′DC = 90°，如圖(二)，若所夾的角為 α， 求 cosα = ________

15、如圖(一)，正方形 ABCD 內部一點 P，， 求正方形 ABCD 面積=_____

16、有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正 骰子來決定，其規則如下：

(一)當所擲點數為 1 點時，棋子不移動。

(二)當所擲點數為 3 或 5 點時，棋子向左(負向)移動「該點數減 1」單位。 

(三)當所擲點數為偶數時，棋子向右(正向)移動「該點數的一半」單位。

第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在 位置為該次的起點。例如，投擲骰子二次，第一、二次分別擲出點數為 5 點、2 點時，該棋子先向左移動 4 單位至坐標−4 ，再向右移動 1 單位至坐標 。試問投擲骰子三次，棋子在原點的機率為________