115年 - 115 高雄中學正式教師甄選試題：數學科#138213

1.方程組 ， 令。
試證：若方程組之幾何意義為「三平面兩兩相交於一直線，且三直線互相平行」， 則 △= 0 且△_x 、 △_y、△ _z 至少有一不為 0。 (6 分)

2. 針對本題：
「 f (x) 是一個多項式函數， deg  f(x) =1 ，1 ≤f(1) ≤4 ，− 2 ≤f(2)≤ 7，求 f (3) 之範圍」。 請用兩種不同解法，求出本題的正確答案。(8 分)

3. 已知. 若，試求數對 ( p,q,r,s)。(8 分)

4. dx，n = 1，2，3，... ，試求(1) (2) 。 (6 分)

5. 已知三角形 ABC 的三邊長分別為 a,b,c ，且其外接圓半徑， 求此三角形三內角的餘弦值之和=? (6 分)

6. 直角△ABC 中， ∠BAC=  90^o ，今上一點 D 滿足 ∠ABC=2∠ACD且=1， 求 △BCD 面積=? (6 分)

7. 設 f ( x) 和 g(x) 均為二次實係數多項式且 f (x) 的領導係數為 1，g(x) 的領導係數為 4， 若 ( f(x))²除以 g(x ) 的餘式為 ； (g(x))²除以 f(x ) 的餘式為 28x −40 ，求 f (x) ? = (6 分)

8. 有八個學生在雄中司令臺圍坐一圈，今每人同時丟擲一個公正的硬幣一次(即出現正面和反面的機率皆為 )，試求沒有任相鄰二人皆擲出反面的機率=? (6 分)

9. 空間中， S 為以 P(1,0,0) 為球心，半徑為 1 的球面，若 Q ( a,b,c) 為球面 S 上的動點，滿足 a>1， b>0， c >0 ，若過 Q 且與球面 S 相切的平面 E ，分別與 x 軸、 y 軸、 z 軸交於點 A ,B ,C，試求 △ABC 的最小面積=? (6 分)

10. 設 a>0，f (x)=x³+ax²-a² x 圖形為Γ，若 f (x ) 在 x=b有極小值，求過點 (b , f( b )) 且 與 Γ相切的切線與Γ所圍成的區域面積=? (以 a 表示) (6 分)

11. 求出所有的正整數 n，使得 是一個完全平方數。 (6 分)

12. 空間坐標中，點 (x, y, z)，滿足 x, y, z 皆為整數的點，稱為格子點。已知四面體 OABC 的四個頂點為 O(0,0,0)，A(10,20,30)，B(20,20,30)，C(30,10,10)，則在四面體 OABC 的內部或邊界上，有多少個格子點？ (6 分)

13. 空間坐標中，A,B 兩點在某直線 L 的投影分別為 C,D。已知= 6， 且兩直線方程式分別為 AC:與 BD: ， 試求 的長度=? (8 分)

14. 坐標平面上，已知O為原點，矩形 OABC 的三個頂點 A, B, C 均在橢圓，試求矩形 OABC 的面積=? (8 分)

15. 設 a, b, c, d 為正實數且滿足 abcd = 1。 試證明：(8 分)