115年 - 115-1 臺北市立麗山高級中學_正式教師甄選試題：數學科#138397

1. 設實數α、β滿足 log α³+3α-6=0，10^β+1+10β-20=0，則α+β的值為________。

2. 坐標平面上點A(3,-1)及圓C：(x+1)²+(y-2)²=5。過點A作圓C的切線，其中點P為切點，若點Q為圓C上的動點，則向量內積的最大值為________。

3. 在坐標空間中，設Γ：，Λ：{(x,y,z)|x=4, y=k}，動點P,Q分別在Γ和Λ的圖形上，已知的中點軌跡方程式為，若長的最小值為m，則x₀+k+m=________。

4. 五位同學圍成一圈依序循環報數，規定：
①第一位同學首次報出的數為1。第二位同學首次報出的數也為1，之後每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；
②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次。
求當第30個數被報出時，五位同學拍手的總次數為________。

5. 設f(x)=x³+4x²+x-6, g(x)=2x³+(k-2)x²+kx-2k, k∈R，已知方程式(f(x))²+(g(x))²=0有兩個相異實根α,β，求k+α+β=________。

6. 在坐標空間中，兩歪斜線L₁和L₂分別在兩平行平面E₁:x+2y+2z=7和E₂:x+2y+2z=16上，設點A,B在L₁上，點C,D在L₂上，且垂直E₁和E₂。若，則直線L₁和L₂方向向量夾角的正弦值為________。

7. 試求方程式：2x²-4=的實根為________。

8. 如右圖所示，有一直圓錐面，高為，底部圓面積為π，圓錐頂點O與底面圓周上一點A，中點為B，今有一隻螞蟻從A點出發，沿著圓錐表面爬行兩圈後到達B點，求螞蟻爬行的最短距離為________。

9. 空間中L₁：與L₂：為一正立方體某兩邊所在的直線方程式。則此正立方體的體積為________。

10. 正七邊形ABCDEFG內接於一單位圓，則線段長乘積為________。

11. 圓上有四點A,B,C,D，已知兩弦，設=2，=3，則此圓面積為________。

12. 等軸雙曲線x²-y²=8的中心為O，兩焦點F₁，F₂，點P在此雙曲線上，若=9，則線段乘積=________。

13. 如附圖之蜂房結構，每兩個相鄰的蜂房間都有一通道，一隻蜜蜂從蜂房A出發，想爬到第10號蜂房，但不許反向倒走（即蜂房號碼不可愈走愈小），則共有________種走法？

14. 設數列{aₙ}滿足aₙ₊₁=aₙ+2ⁿ，且a₁=1，則=________。

二、計算證明題
1. 實驗室中有n個砝碼，重量分別為a₁,a₂,...,aₙ。已知從中任取兩個砝碼秤重的重量和為Aᵢ，所有Aᵢ的總和為k克；從中任取三個砝碼秤重的重量和為Bᵢ，所有Bᵢ的總和為2k克。若已知這些砝碼重量滿足a₁²+a₂²+a₃²+...+aₙ²的最小值為2400，試求k的值。

 (1) 邊上的高=？（3分）

(2) 在邊上取一動點P、在邊上取一動點Q，則△PQH周長的最小值為？（7分）

 (1)證明對任意實數a，有。（5分）

(2)設此組資料的標準差為σ=，利用(1)證明σ≤。（5分）