所屬科目：教甄◆數學
1. 已知 | log | x ax b = + 的三個實根成等比且公比為 2 ，試求 10b 的值。
2. 如下圖，在 3 3 方格中，隨機塗上紅色、黃色及綠色，且每種顏色各占 3 格，試求出現「賓果」(即某一橫列、直行 或對角線的顏色完全相同)的機率。
3. 設實數 x 、 y 滿足 2 2 x y + = 4 ，試求 3 3 x y xy + − 3 的最大值。
4. 設複數 z 滿足 10 z =1 且 z 1 ，試求 9 1 1 1 k k= − z 。
5. 設 n 為正整數，若 n x 除以 ( x x x − − − 234 )( )( ) 的餘式為 R x( ) ，試求 ( ) ( ) 1 lim n 0 R → R − 。
6. 設實係數多項式函數 ( ) ( ) 2 f x ax a = + −2 ，其中 − 1 2 a 。在坐標平面上，令 為 y f x = ( ) 與 x 軸在 − 1 1 x 所圍的 區域。又令 V 為 繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積。試求體積 V 的最大值。
7. < ?? >滿足{ ?1 = 2 ⬚ ? > 1 ， ， ?2 = 8 √?? = √??−1+√??+1 2 ，則?300 =_________。
8. 右圖為一邊長 8 的正立方體包裝盒展開圖，在盒底正中央擺上底面正方形邊長為 6，側面腰長為 3 6 的四角錐，試 問包裝後正四角錐頂點 A 與正立方體頂點 B 的距離=_______________。
9. 台南沙崙智慧綠能科學城正在舉辦「智慧自駕車迷宮挑戰賽」，目的是推廣人工智慧與智慧交通的科教應用。小安設 計的自駕小車 Tesala(特沙拉) 參賽，並安裝了左、右兩個距離感測器，決策邏輯如下： (1)當只有正前方有障礙物時，Tesala 會隨機選擇向左轉(L)或向右轉(R)，且機率各為 50%。 (2)統計資料顯示，在沙崙智慧綠能科學城的模擬迷宮中，Tesala 遇到障礙物的情況(事件 O)佔總行駛時間的 30%。 (3)在遇到障礙物的情況下，約有 25% 的機率是左側同時也有障礙物(事件 A)的棘手狀況。 (4)另外，在未遇到障礙物的情況下，仍有約 0.4% 的機率因感測器誤判或環境干擾而顯示「左側有障礙物」。 問題： 若某次比賽中，Tesala 突然進行了左轉避障。請填寫在「左側有障礙物」的條件下，Tesala「遇到障礙 物」的機率為 _____________(四捨五入到小數第 3 位)。
10. 二數列⟨?? ⟩、⟨?? ⟩具有?1 = 1、?1 = 1，且∀n ∈ N，{ ??+1 = ?? − 2?? ??+1 = ?? + 4?? ，求?? + ?? =_________。
11. 複數平面上A(α)、B(β)、C(γ)，已知{ |? − ?| = 6 ? 2 + 4? 2 + 5? 2 − 2?? − 8?? = 0 ，求|α − β|=________。
12. 空間座標中| 0 ? −? 0 ? −? 1 −1 −? −1 ? 1 0 1 −1 0 | = 25的圖形表示二平行平面，則此二平行平面之距離=__________。
二、計算證明題(20%) 1. 設隨機變數 X 的機率分布為幾何分布 G p( ) ，試證隨機變數 X 的期望值 ( ) 1 E X p =
2. 空間中有一平面?: 2? + 3? − 6? − 24 = 0分別交三軸於 A、B、C 三點，問原點 O 與三點所構成之四面體之外接球與 內切球半徑的和=____________。
(1) 請問您認為【特徵圖 B】應該是如何呈現，理由為何？(5 分)
(2) 【特徵圖 B】運算後的結果，哪些地方數值最高？(5 分)
(3) 如果學生想偵測「斜線」，身為老師的您又該如何引導他修正題目？(5 分)
(4) 或卷積核裡的數字該如何調整？(5 分)
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