若x¹⁰ + mx + n可被(x −1)²整除，則m− n之值為何？

(A)−20
(B)−19
(C)−1
(D)1。

x = 1  代入得 1+m+n=0  則n=-m-1

因此原式 =  x^10 + mx - m - 1 = x^10 - 1 + m(x-1)

                      = (x-1)(x^9+x^8+...+x+1) + m(x-1)

                      = (x-1)(x^9+x^8+...+x+1+m)

則x^9+x^8+...+x+1+m有x-1的因式

故將x=1代入得10+m=0 => m=-10, n=-m-1=9

得m-n=-19

投機一點的方法是

(x10 + mx + n)/(x −1)2 是整數

X=-1代入

(1-m+n)/4 是整數

[1-(m-n)]/4是整數

選項只有m-n=-19合 

第 22 題
令 x^10 + mx + n = (x - 1)^2 * Q(x)
x = 1 代入得 m + n = -1

兩邊微分 10x^9 + m = (x - 1)^2 * Q'(x) + Q(x) * 2(x - 1)
x = 1 代入得 m = -10

n = 9
m - n = -19

資料來源: 美夢成真教甄討論區http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=2645