2^20 －1 和 2^19 ＋1 的最大公因數為
(A)1
(B)3
(C) 52
(D) 10

2^20-1=2^19*2-1，令2^19=A，則2^20-1=2A-1.....(1)，2^19+1=A+1.......(2)

以輾轉相除法的原理來算，兩者之差為其最大公因數

A為未知數，設法令A消失，故(2)*2-(1)=3為二者之最大公因數

2^20是偶數，所以 2^20-1是奇數

2^19也是偶數，所以 2^19+1是奇數

兩個都是奇數，不可能有偶數的因數，所以52，10都不可能

2^20-1=4^10-1=(4-1)(4^19+4^18+……+4+1)

2^19+1=(2+1)(2^18-2^17+2^16+…..+2^2-2+1)

所以兩個都有 3 的因數

n=任意正整數

a^n - b^n = (a-b)(a^(n-1)+a^(n-2) b +a^(n-3)b^2+...........+b^(n-1)] <-----[裡面全都是用加的]

 n=任意正 [ 奇] 數

a^n + b^n = (a+b)(a^(n-1) - a^(n-2) b +a^(n-3)b^2- ...........+b^(n-1)] <-----[裡面一個加的依個減的]

2^20-1=4^10-1=(4-1)*(4^9+10*4^8+.......+1)=3*......

2^19=(2+1)(2^18+..........)=3*(.....)

故兩者有共同因數

3

要把這兩個式子算開嗎？數很大耶！

要輾轉相除也有些困難～

有沒有可以直接從式子上面就可判斷的方法呢？

例如：2的20-1次方=2的19次方、2的19+1=2的20次方，

從中如何看出最大公因數嗎？