33 X、Y、Z 是獨立的隨機變數且平均數為 μ ，變異數為σ² ，請問 X + cY 與 Y + cZ 的相關係數為何？
(A)
(B)
(C)
(D)

讓我們計算 Cov(X + cY, Y + cZ)。首先，我們展開算式：

Cov(X + cY, Y + cZ) = Cov(X, Y) + Cov(X, cZ) + Cov(cY, Y) + Cov(cY, cZ) 
= Cov(X, Y) + c ^. Cov(X, Z) + c ^. Cov(Y, Y) + c^2. Cov(Y, Z)

由於 X、Y、Z 是獨立的隨機變數，因此它們彼此兩兩之間的共變數為零。因此，

Cov(X + cY, Y + cZ) = c ^. V(Y)

現在，我們可以使用 V(Y) = σ²（根據問題中給定的變異數）：

Cov(X + cY, Y + cZ) = cσ²

最後，我們可以計算相關係數 ρ：

ρ = Cov(X + cY, Y + cZ) / V(X + cY) V(Y + cZ) 開根號

由於 X、Y、Z 是獨立的，它們的變異數相加。因此，

V(X + cY) = V(X) + c^{2 .} V(Y) = σ² + c²σ²

同理，

V(Y + cZ) = V(Y) + c^{2 .} V(Z) = σ² + c²σ²

代入相關係數的公式，得到：

ρ = cσ² / (σ² + c²σ²)² 開根號

簡化後，最終結果為：

ρ = c / (1 + c²)

因此，X + cY 與 Y + cZ 的相關係數為 c / (1 + c²)。