48.當國小學童可以了解「正三角形是等腰三角形」的包含關係，也能歸納出圖形屬性和辨認圖形的分類時，此學童是屬於幾何認知發展的何種階段？
(A)視覺辨識階段
(B)分析階段
(C)非形式演繹階段
(D)演繹推理階段

Van Hiele夫婦的幾何學習發展理論

第0層次──視覺期（Visualization）

→此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋轉等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描述物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。

第1層次──分析期（Analysis）

→此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。

第2層次──關係期（Relation）或非形式演繹期（Informal Deduction）

→此階段兒童可以透過非正式地論證，把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬性關係及個圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。

第3層次──形式演繹期（Formal Deduction）

→達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。

第4層次──嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）

→達此階段者，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。

http://yamol.tw/item.php?id=199144

依據荷蘭數學教育家 Van Hiele 夫婦對兒童幾何思考的研究指出，低年級學童能辨識出正方形或長方形，也能使用數學上的標準名稱來稱呼這些圖形，但是不知道如何給正方形或長方形下定義。中年級的學童雖然能透過幾何圖形的構成要素來檢驗一個圖形是否為正方形或長方形，例如：四個角都是直角的四邊形是長方形；四個角都是直角，而且四個邊也相等的四邊形是正方形，但是學童不見得理解「正方形一定是長方形」的集合包含關係。

Van Hiele 夫婦認為學童會有這些認知上的差異，主要的原因是兒童對幾何知識的掌握方式不同所致，他們將幾何思考的模式區分成五個發展的層次，每一個層次都有其發展的特徵，八十二年部編本國小數學教材 ( 本書中簡稱本教材 ) 幾何課程的設計即以此理念為根據，其概略特徵敘述如下：

此層次的學童是透過視覺觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形，而經常接觸討論某類的圖形，其形狀差異不大，例如：三角形、正方形、長方形與圓等，學童可以透過移動、旋轉與翻轉等方式，直觀地辨識某類圖形。

此時學童可以使用非標準的數學語言，例如：學童稱呼某一個長方形，是瘦瘦的、長長的或是像門的樣子；稱呼某一個正方形，是方方正正的樣子。也可以使用標準的數學語言來描述圖形的形狀，例如：使用「正方形」、「長方形」、「圓形」與「三角形」等標準的數學語言指稱圖形的形狀，但是並不理解這些數學語言的定義，例如：用正方形的構成要素來定義一個正方形，是有四個邊與四個角及其關係是四個邊等長與四個角都是直角。

針對本層次的學童，本教材安排許多透過感官的操作活動，讓學童進行分類、造形、滾動、堆疊、描繪、著色、觸摸與複製等活動，幫助學童注意到圖形的構成要素。

此層次的學童應該具有豐富的視覺辨識經驗，能進一步觀察圖形構成要素與圖形之間的關係，可以開始尋找出某一類圖形的共同性質，例如：以圖形組成要素來說，當注意到長方形的邊長時，學童可以發現長方形都有四個邊，這四個邊剛好分成兩組，一組是兩個長邊，一組是兩個短邊，而且兩個長邊等長，兩個短邊也等長。當注意到長方形的角時，學童可以發現長方形都有四個角，這四個角都相等，而且每一個角都是直角。而若以圖形之間的關係來說，例如：「長方形」與「此長方形對角線相交的圖形」，此為兩個圖形，當注意到長方形的對角線時，學童也可以發現長方形都有兩條對角線，而這兩條對角線等長且互相平分。

雖然此時學童可以發現長方形的四個角都是直角、對角線等長、對角線互相平分、兩雙對邊分別相等或兩雙對邊互相平行，但是學童無法解釋這些幾何性質間的關係，例如：無法透過推理，理解為什麼四個角都是直角的四邊形，它們的對角線一定會等長且互相平分。

針對本層次的學童，本教材安排許多圖形的製作活動、組合分割活動以及檢驗活動，幫助學童觀察製作後的圖形構成要素與原圖形構成要素間的關係，觀察原圖形與組合、分割後圖形構成要素間的關係，以及熟悉各種圖形的性質，幫助學童探索圖形與圖形之間的關係。

此層次的學童已經能掌握各種圖形的構成要素，可以進一步探索圖形內在屬性關係，以及不同類圖形之間的包含關係，例如：兩雙對邊相等的四邊形一定是平行四邊形；對角線等長且互相平分的四邊形一定是長方形。此時期的學童不必將所有的屬性都描述出來之後，才能確認某一類圖形。

此層次的學童也能夠理解長方形一定是平形四邊形的意義，也能夠推論當平行四邊形有一個角是直角時，該平行四邊形一定是長方形。學童也能夠掌握三角形的外角等於對應的二個內角和， n 多邊形的內角和為 (n － 2) × 180 °的意義，這些都是此層次學童能透過理解其內在關係後建立的概念，而不只是公式的記憶。

這裡演繹的意義是指在一個公設系統中去建立幾何理論，故而此層次的人們能用演繹邏輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係。他們可以在一個公設系統中建立理論，他們不只是記憶圖形之間的各種性質，並且能夠證明與理解一個定理可以有很多不同證明的方法；他們也能理解一個定理的充份或必要條件的內在關係，並發現正逆命題間的差異性，國小學童?少能達到此層次。

達到這個層次的人們，可以在不同的公設系統中建立定理，並分析或比較這些定理的特性，例如：能區分 歐 氏幾何與非 歐 幾何系統間的差異，也可以理解抽像的幾何推理，甚至可以自創一套幾何公設系統。一般的人很難達到這個層次，即使是以數學為專業者也不易達成。

根據 Van Hiele 夫婦研究顯示，上述五個層次都有其次序性，學習者必須擁有前一個層次的概念與策略，才能有效地進行下一個層次的學習活動。同時，由於教材內容屬性的差異，也會影響學習者落入不同的層次之中，例如：學童對平面上兩直線平行或垂直的概念已經進入第一層次的分析期，但是對空間中兩平面、兩直線或平面與直線平行或垂直的概念，可能還停留在第零層次的視覺期。

本教材預估大部分的國小低年級學童大多數都在第零層次的視覺期；中年級學童大約可以達到第一層次的分析期；高年級的學童大約在第一層次分析期到第二層次關係期的過渡時期。

 http://wd.naer.edu.tw/216/book13/1-2_1.htm

非形式演繹期又做關係期

→圖形間的包含關係