8 甲與乙分別測量同一組資料之眾數、中位數及平均數，得結果如下：甲計算的結果：眾數=0，中位數 = -2.4，平均數= -1.9。乙計算的結果：眾數=0，中位數= -1.3，平均數= -2.6。假設已知這組資料呈單峰左斜分配，又知甲、乙各有一個數據算錯，則實際上眾數、中位數及平均數應各為多少？
(A)眾數=0，中位數= -1.3，平均數= -1.9
(B)眾數=0，中位數= -2.4，平均數=-2.6
(C)眾數=0，中位數= -1.3，平均數= -2.6
(D)眾數=0，中位數= -2.6，平均數= -1.3

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統計： A(4), B(1), C(1), D(0), E(0) #3792231

凱文

B1 · 2026/06/17

#7411674

答案應為A。詳解如下：

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題目已知甲、乙各有一個數據算錯（意味著每個人都有 2 個數據是算對的）。

甲算出的眾數是 0，乙算出的眾數也是 0。
假設正確的眾數不是 0，那甲跟乙在「眾數」這一項就都算錯了。這會導致他們把「唯一算錯的數據」用掉，代表他們剩下的中位數與平均數都必須是正確的。但兩人的中位數與平均數數據完全不同，這會產生矛盾。
結論：正確的眾數必定是 0。（這也代表甲、乙唯一算錯的數據，必定發生在中位數或平均數上）。

單峰左斜分配（Negatively skewed distribution，又稱負偏態）的特徵是資料的尾巴往左邊（負向）拉長，極端的極小值會把平均數強烈往下拉。因此，這三個集中量數的大小關係必然為：

既然我們已經確定眾數為 0，這組資料的真理條件就是：

既然甲、乙各錯一個，正確的「中位數」與「平均數」必定是從他們沒錯的數據中拼湊出來的。我們將甲乙的數據交叉配對，可以得出兩種可能的組合：

組合 A：甲的平均數正確、乙的中位數正確
- 測試數據：平均數 = -1.9，中位數 = -1.3
- 檢查關係：-1.9 < -1.3 < 0 （符合左斜分配的不等式條件）
組合 B：乙的平均數正確、甲的中位數正確
- 測試數據：平均數 = -2.6，中位數 = -2.4
- 檢查關係：-2.6 < -2.4 < 0 （也符合左斜分配的不等式條件）

當不等式無法排除選項時，我們必須使用皮爾森經驗法則 (Pearson's Empirical Rule)：

我們將剛剛的兩種組合代入檢驗：

檢驗組合 A：
- 左式 = -1.9 - 0 = -1.9
- 右式 = 3 × (-1.9 - (-1.3)) = 3 × (-0.6) = -1.8
- 結果： 左式與右式數值極度接近（-1.9 ≒ -1.8），完美符合統計實務上的真實數據分佈特徵。
檢驗組合 B：
- 左式 = -2.6 - 0 = -2.6
- 右式 = 3 × (-2.6 - (-2.4)) = 3 × (-0.2) = -0.6
- 結果： 左式與右式數值差距過大，在單峰分配中幾乎不可能出現這種極端的距離比例。

根據上述推論，組合 A 是唯一符合統計學特徵的解（即甲算錯了中位數，乙算錯了平均數）。

實際上這組資料的集中量數為：