申論題

五、錯誤更正碼（Error Correction Codes, ECC）是用來解決在資料傳輸的過程中，因資料損毀、雜訊等原因造成資料錯誤的問題。Single-Error Correcting（SEC）Codes 是一常用的錯誤更正碼，顧名思義，這種 SEC 編碼方式只能更正一個位元的錯誤。以下是一種 SEC 錯誤更正碼的例子。如圖所示，A, B 以及 C 為三個彼此之間互有交集的集合，為了區別，我們在三個集合的不同交集區域標上 1~7 個編號，分別代表 x₁, x₂ ,…, x₇，每一個區域的值可為 0 或是 1。此 SEC 碼的編碼規則如下：如果 (x₁, x₂ ,…, x₇) 是一組碼字（Codeword），則 A, B, C 三個集合中的“1”的個數必須為偶數。此種檢查 A, B, C 集合中的“1”的個數必須為偶數的機制也稱 Even-parity Check。

(三)若我們將 3 個 Even-parity Check 方程式以矩陣的形式表示如下：

那麼，如果是一個碼字，則。此即為一種（7, 4）線性區塊碼。請證明此（7, 4）線性區塊碼的最小漢明距離（Minimum Hamming Distance）最少為 3。