112年 - 112 國家安全情報特種考試_三等_電子組（選試英文）：通訊系統#114831

(一)假設 x(t ) = e^-atu(t) ，其中 u(t) 為單位階梯函數（Unit Step Function） 。請求 x(t)sin(2πf_ct) 的傅立葉轉換（Fourier Transform）。（10 分）

(二)如下圖所示， δ_T0(t) 為一包含無窮長且均勻間隔的脈衝函數（或稱為 Delta 函數），其週期為 T₀。請求 δ_T0(t) 的傅立葉轉換並畫圖。（10 分）

(一)下圖為一 3 階 PAM 系統的調變訊號星座（Signal Constellation）圖。
針對接收機所接收的訊號值的大小，根據星座圖，請設計一最佳之估計閥值（Detection Threshold）使該接收機的解調器有最小的平均錯誤機率（Average Probability of Error），並請計算此最佳解調器的平均錯誤機率。

(二)下圖為一特殊之 16-QAM 星座圖，是一種常用於電話線數據機的國際標準（稱為 V.29）：

假設電話線傳輸系統有足夠高的信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），因此錯誤只發生在星座圖的相鄰點之間。根據 V.29 16-QAM 星座圖，請決定並繪製信號解調器之最佳決策邊界（ Optimum Decision ，使接收機的解調器有最小的平均錯誤機率。 Boundaries）

(一)

(二)

(三)

(二)為了方便說明，我們以記為碼字，而以記為錯誤向量。對於所給定的碼字=(1,1,0,1,0,1,0) ，在其上隨意加入一個位元的錯誤，例如=(0,0,0,0,0,1,0)（註：因為有 7 個位置，因此共有 7 種可能），那麼則為所接收的訊息，也就是
請證明針對一組碼字 =(1,1,0,1,0,1,0)，任何一個位元的錯誤都能被偵測且更正回來。（8 分）

(三)若我們將 3 個 Even-parity Check 方程式以矩陣的形式表示如下：

那麼，如果是一個碼字，則。此即為一種（7, 4）線性區塊碼。請證明此（7, 4）線性區塊碼的最小漢明距離（Minimum Hamming Distance）最少為 3。