申論題

五、錯誤更正碼（Error Correction Codes, ECC）是用來解決在資料傳輸的過程中，因資料損毀、雜訊等原因造成資料錯誤的問題。Single-Error Correcting（SEC）Codes 是一常用的錯誤更正碼，顧名思義，這種 SEC 編碼方式只能更正一個位元的錯誤。以下是一種 SEC 錯誤更正碼的例子。如圖所示，A, B 以及 C 為三個彼此之間互有交集的集合，為了區別，我們在三個集合的不同交集區域標上 1~7 個編號，分別代表 x₁, x₂ ,…, x₇，每一個區域的值可為 0 或是 1。此 SEC 碼的編碼規則如下：如果 (x₁, x₂ ,…, x₇) 是一組碼字（Codeword），則 A, B, C 三個集合中的“1”的個數必須為偶數。此種檢查 A, B, C 集合中的“1”的個數必須為偶數的機制也稱 Even-parity Check。

(二)為了方便說明，我們以記為碼字，而以記為錯誤向量。對於所給定的碼字=(1,1,0,1,0,1,0) ，在其上隨意加入一個位元的錯誤，例如=(0,0,0,0,0,1,0)（註：因為有 7 個位置，因此共有 7 種可能），那麼則為所接收的訊息，也就是
請證明針對一組碼字 =(1,1,0,1,0,1,0)，任何一個位元的錯誤都能被偵測且更正回來。（8 分）