申論題

4. 為一個數列，若此數列滿足對所有自然數n， ，我們稱此數列 為遞增數列。若存在實數M 滿足對所有自然數n， ，則此數列有上界。
定理 1: 一個有上界的遞增數列必存在唯一的實數 ，使得此數列當n 越來越大時，會越來越靠近，我們稱此數列收斂到 ，稱為此數列極限值。 例如:數列{0.9,0.99,0.999,...}會收斂到 1。(作答時可利用定理 1)

(b) 給定a₁>b₁ ＞ 0，我們利用以下規則 建構出兩個數列，請問這兩數列是否有極限值(請詳細敘述你的推論)。若有，請求出它們的極限值。 (15 分)