102年 - 102 南臺灣國民中學教師甄試：數學#108450

3. 如圖， ∆ABC 中， = 10 ， D, E , F 分別為三邊 及 上的點，使得與。則四邊形則四邊形 AEDF 的周長為何？ (A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35

4. 設 α , β , p, q, r , s 為實數， ，如果 tan α 和 tan β 為方程式 x ² − px + q = 0 的二根，且 cot α 和 cot β 為方程 式 x ² − rx + s = 0 的二根， ，則 rs 等於下列何者？  (A) pq (B) (C) (D)

5. 已知三角形 ABC 的面積為 10，且 D, E , F 分別為邊 及 上的點，此三點都異於 A 點，使得 = 2, = 3 ，如圖所示。如果 ∆BCE 的面積等於四邊形 DCEF 的面積，試問∆BCE 的面積為何？   (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D)

6. 試問方程式 = 1 共有多少個整數解 x ？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

9. 試問 之值為下列何者 之值為下列何者？ x →0 x − sin x (A) -2 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在

10.已知實數 a, b, c 滿足條件 a = √2 + b, 且 2ab + 2√2 c ² + 1 = 0 ，試問下列何者不正確？ (A) a = − (B) a = (C) b = − (D) a + b + c = 0 

11.已知 ，其中 i ² = −1 ，試問下列何者不正確？ (A) z⁵ + w⁵ = −1 (B) z ⁷ + w⁷ = −1  (C) z ⁹ + w⁹ = −1 (D) = −1

13.已知正數 a, b 滿足條件 log₉ a = (a + b) ，則 之值為何？ (A) (B) (1 + √3 ) (C) (D) (1 + √5 ) 

15.在 ∆ABC 中， ∠C = 3∠A, = 48, = 27 ，則 =? (A) 33 (B) 35 (C) 37 (D) 39

16.化簡之值為下列何者？ (A) 3 (B) 4 (C) 6 − 3√3 (D) 5−2√3

17.試問之值為下列何者？  (A) 1 (B) 2 (C) (D)

18.如果 y = f ( x) 為微分方程式 = ( y − 1)( y − 2) 的解，且滿足條件 f (0) = ，則 f ( x) 之值為何？  (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3 

19.以下矩陣都是 n 階方陣，下列何者為正確？ (A) 如果 AB=CB AB=CB，且B≠ 0，則 A=C (B) 如果 A ² = A ，則 A=0 或 A=I(其中 A=I I 為單位矩陣) (C) (A + B)(A - B) = A ² - B² (D) 如果 AB=I，則 AB=I A 的轉置矩陣必為可逆。

22.試問滿足方程式 ( x ² + y ² − 4) ² ( xy − 1)² + = 0 共有幾組實數解 ( x, y ) ？ (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 

23.設 x, y 為實數，如果 x, y 滿足條件 ( x − 3)² + ( y − 3)² = 6 ，則 之最大值為何？  (A) 2 + √3 (B) 3 + 2√2 (C) 3√3 (D) 6

24.設 ，，下列何者為正確？ (A) (0, 0) = −1 (B) (0, 0) = 1 (C) f ( x, y ) 在點 (0, 0) 處不連續 (D) 函數 f 在(0,0)處不可微分

25.已知函數 f 的定義域為所有正整數，且滿足條件 f (1) = 2013 及對於任意正整數 n ＞ 1 ， f (1) + f (2) + L + f (n) = n² f (n) 成立，試問 f (2012) 之值為何？ (A) (B) (C) (D)2012

26.= (A) (B) (C) (D) √π

27. Ω ＝ ( x, y ) ∈ R ² : x + y ≤ 2； x, y ≥ 0 ； ＝  (A) (B) (C) (D)

28. Γ = z (θ ) : z (θ ) = , −π ≤ θ ≤ π ， a 為任意實數，則 = (A) π i (B) － π i (C) 2 π i (D) －2 π i 

29. ＝(A) (B) (C) (D)

30.=(A) (B) (C) (D) √ π 

31. [⋅] 是高斯函數 ，=(A) 0 (B) －1 (C) 3 (D) 2

32. ＝(A) 7 (B) 3 (C) (D)

33. ；＝(A) 1 (B) 0 (C) (D)

34.若 在 x = 1 處連續，則 a ＝(A) 3 (B) 0 (C) 1 (D)

35.若 f ' ( k ) 存在，則= (A) f ( k ) + kf ' ( k ) (B) 0 (C) kf ' ( k ) − f ( k ) (D) f ( k ) − kf ' ( k )

37. ＝(A) + c (B) +c (C) +c (D) +c 

38. −1 xdx ＝(A) (B) (C) (D)

39. 是(A) 發散 (B) 絕對收斂 (C) 條件收斂 (D) 以上皆非 

40.瑕積分是 (A) 發散 (B) 收斂到 (C) 收斂到 (D) 以上皆非

43.球面 S : x ² + y ² + z ² + x + y + z − 1 = 0 與直線 交於 A, B 二點， 線段長＝(A) (B) (C) (D)

44. ； ， t ∈ R 兩直線之交點為(A)（16，－5） (B)（17，－4） (C)（18，－6） (D)（17，－6） 

45.方程組 有無限多組解，則 a + b =(A) －56 (B) －57 (C) －58 (D)－59 

46. x + y + z = 7 、 y = z 兩平面之夾角是(A) (B) (C) (D)

47.過 P(1, −3, −5) 、 P (2,1, 7) 兩點之直線的對稱式為(A) (B) (C) (D)

48. 若 α 、 β 、 γ 為任意三角形之三個內角，則 ＝(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)一律給分

49.點 P(1, −1) 到直線 3x + 4 y = 7 的距離是(A) (B) 1 (C) (D)